4. Arcos y circunferencias

Las circunferencias y los arcos son elementos fundamentales para las construcciones geométicas. El círculo no es tan utilizado, pero conviene entender la diferencia entre las circunferencias y los círculos.

Los contenidos de este tema están orientados a conocer, identificar y aprender a operar con estos elementos geométricos.

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Distribución:

1. Características generales.
2. Elementos de la circunferencia.
3. Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia.
4. Posiciones relativas entre dos circunferencias.

4.1.Características generales

Circunferencia. Una circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, en la que todos sus puntos están a una misma distancia (llamada radio) de un punto central llamado centro. La circunferencia está definido por el centro y el radio o diametro (doble del radio).

Arco. Es un trozo de una circunferencia, es decir, un segmento de circunferencia. El arco de una circunferencia queda definido por:

• tres puntos no alineados, o
• dos puntos alejados (conviene que sean los puntos finales del arco) y el radio, o
• por la longitud de una cuerda y el radio

Círculo. Se trata de la superficie creada a partir de una circunferencia. es decir la circunferencia es la línea y el círculo, la superficie formada por la circunferencia. El círculo, también está definido por el centro y el radio o diametro (doble del radio).

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4.2. Elementos de la circunferencia.

La circunferencia posee varios elementos importantes, se trata de puntos, rectas y segmentos, que definen elementos singulares en la circunferencia. Estos elementos son:

• Centro. Es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
• Radio. Es la longitud existente entre el centro y cualquier punto de la circunferencia. El radio tiene un tamaño equivalente a la mitad del diámetro.
• Diámetro. Tienen una longitud equivalente al doble del radio y se trata del segmento que une dos puntos de una circunferencia pasando por el centro.
• Cuerda. La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia, por tanto, el diámetro es la cuerda de longitud máxima. La mediatriz de cualquier cuerda de una circunferencia, pasa por el centro de la misma.
• Secante. Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos. Se ve en el siguiente apartado.
• Tangente. Es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto. Se ve en el siguiente apartado.
• Punto de tangencia. Se trata del punto de contacto entre la recta tangente y la circunferencia. Se ve en el siguiente apartado.
• Arco. Es un trozo de una circunferencia, es decir, un segmento de circunferencia. También se puede definir como el trozo de circunferencia abarcado por una cuerda. El arco de una circunferencia queda definido por:
  • tres puntos no alineados, o
  • dos puntos alejados (conviene que sean los puntos finales del arco) y el radio, o
  • por la longitud de una cuerda y el radio
• Semicircunferencia. Se trata de un arco de circunferencia abarcado por el diámetro.

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4.3. Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia

Las circunferencias y rectas pueden estar situadas de distintas formas, una respecto de la otra. Las posiciones que una recta puede tener con respecto a una circunferencia son:

• Recta Exterior. La recta está en un espacio exterior a la circunferencia por lo que no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
• Recta Tangente. Una recta es tangente a una circunferencia cuando la toca en un solo punto. Este es el punto de tangencia. La distancia del centro de la circunferencia al punto de tangencia (o a la recta) es igual a la longitud del radio. En el punto de tangencia, la recta es perpendicular al radio de la circunferencia.
• Recta Secante. Es cuando la recta corta a la circunferencia, por lo tanto, tiene dos puntos comunes con la circunferencia. La distancia del centro a la recta es menor que la longitud del radio.

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4.4. Posiciones relativas entre dos circunferencias.

Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:

• Exteriores. Es cuando las dos circunferencias no tiene ningún punto en común y, la distancia existente entre los dos centros es mayor a la suma de los radios de las dos circunferencias.
• Tangentes exteriores. Es cuando las dos circunferencias tienen un único punto común. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios.
• Secantes. Igual que con la circunferencia-recta, dos circunferencias son secantes cuando se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios.
• Tangentes interiores. Se trata de un caso parecido al anterior, pero con una de las circunferencias dentro de la otra. Es, por tanto, cuando tienen un punto común y todos los demás puntos de una de las circunferencias son interiores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es menor a la suma de los radios de las dos circunferencias.
• Interiores, Es cuando las dos circunferencias no tienen ningún punto en comun y todos lo puntos de una de las circunferencias están dentro de la otra. Una de las circunferencias, su radio debe tener mayor longitud que la otra. Cuando, además, el centro de las dos circunferencias no coinciden, decimos que son circunferencias interiores excénctricas. Si tuvieran el mismo centro, estamos hablando de: circunferencias interiores concéntricas.
• Concéntricas. Es cuando dos circunferencias tienen un mismo centro pero distintos radios. Una de las circunferencias debe tener mayor radio que la otra.

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