Las diagonales de un rombo

Recientemente me hacían la siguiente pregunta: ¿las diagonales de un rombo lo cortan formando un triángulo equilátero y otro isósceles?. Aunque no suelo contestar preguntas, está me ha gustado así que ahí va la contestación.

Características de un rombo

Un rombo, como se ve en el apartado «cuadriláteros«, es un cuadrilátero (figura plana formada por cuatro lados que se cortan dos a dos) además de un Paralelogramo (por tener sus lados paralelos dos a dos).

Además los lados tienen la misma longitud, tienen dos diagonales que se cortan perpendicularmente y sus vértices tienen ángulos iguales dos a dos y distintos al ángulo recto (si fueran ángulos rectos, tendríamos un cuadrado).

Las Diagonales

Según lo anterior, tenemos dos diagonales que dividen al rombo en dos triángulos iguales.

Los triángulos ABC (amarillo) y ACD (naranja) son iguales e isósceles. Los triángulos ABD (verde oscuro) y BCD (verde claro) también son iguales y también son isósceles, pero en este caso, con unas condiciones determinadas, estos dos triángulos pudieran ser equiláteros.

¿Cuales son esas condiciones?, para que los triángulos formados por la diagonal vertical del rombo de la figura sean equiláteros, la condición que se debe dar es que los ángulos A y C (ambos deben ser iguales) midan 60º.

Solución

Así que, volviendo a la pregunta del principio, «¿las diagonales de un rombo lo cortan formando un triángulo equilátero y otro isósceles?«, a esta pregunta habría que decir que NO, ya que lo cortan en cuatro triángulos isósceles, aunque en condiciones determinadas (ángulos A y C 60º), pueden cortarse en dos triángulos isósceles y dos equiláteros.

El rombo de la derecha si cumple lo que se pregunta, que cada diagonal corta al rombo en dos triángulos, en un caso son dos triángulos isósceles y en el otro son dos triángulos equiláteros.

Aplicación de enlaces en las vistas de una pieza

Pieza 605

Nos dan la pieza de la figura (pieza 605) y nos piden delinearla.

Para ello tenemos que sacar las vistas que representen esta pieza. Delinear es obtener esas mismas vistas pero utilizando las herramientas de dibujo y las medidas que me proporciona la pieza.

Aunque la obtención de vistas (alzado, planta y perfil) no es objeto de este blog, podemos ver que no tiene excesiva complicación.

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Las vistas serían:

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Nos fijamos en que hay que realizar enlaces en el perfil.

En este caso, el enlace consiste en unir dos rectas paralelas del perfil con un arco semicircular (ejemplo: enlazar dos líneas paralelas).

Enlazar dos rectas

Para hacer cualquier enlace hay que realizar tres operaciones:

• Hallar el centro del enlace
• Hallar los puntos de tangencia
• Trazar el enlace (primero el arco y luego las rectas)

Para hallar el centro del enlace, lo podemos hacer matemáticamente o gráficamente. Dado que estamos trabajando la interpretación gráfica, lo haremos gráficamente y mediante el trazado de la mediatriz.

La mediatriz es la línea que divide un segmento en dos partes iguales.

Dicho de otra forma, si queremos dividir un segmento (trozo de una línea, limitado en sus dos extremos) en dos partes iguales, tendremos que utilizar la mediatriz.

Mediatriz

Para trazar una mediatriz, se coge el compás y con una abertura cualquiera, más grande que la mitad del segmento, se traza un arco desde uno de los dos puntos, por ejemplo el punto A.

Después, y con el mismo radio anterior, se traza otro arco desde el punto B.

Ambos arcos se cortan en los puntos 1 y 2. Juntando estos dos puntos, tendremos la MEDIATRIZ.

El punto medio del segmento AB, es donde la mediatriz corta al segmento. Este es el centro del enlace.

Aplicación en la pieza. Centro del enlace

En nuestra pieza, sería:

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La altura donde se sitúa el eje horizontal, se obtiene de las medidas de la perspectiva de la pieza.

Aprovechamos el trazado y marcamos el eje horizontal con línea de eje (trazos y puntos).

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Como hemos visto antes, desde los extremos, trazamos dos arcos con un radio del compás algo mayor de la mitad del segmento.

Uniendo la intersección de estos dos arcos, tenemos el punto Oe, que es la mitad del segmento y por tanto el punto desde donde tendremos que hacer el enlace.

Aprovechamos el trazado y marcamos el eje vertical.

Puntos de tangencia

Después de tener el centro del enlace, tenemos que saber cuales son los puntos de tangencia.

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Este caso es sencillo ya que, donde el eje horizontal corta a las aristas del perfil, tenemos los puntos de tangencia T1 y T2.

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Trazado del enlace

Con los puntos de tangencia hallados, trazamos el arco del enlace.

El enlace unirá los puntos de tangencia (saldrá del punto de tangencia 1 y finalizará en el punto de tangencia 2). Primero en fino, para ver si está bien realizado, y luego en grueso.

Aprovechando este trazado, realizamos de la misma manera (primero en fino y luego en grueso) el círculo correspondiente al agujero que tiene el perfil.

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Para finalizar se trazan, con línea gruesa, el resto de líneas correspondientes al perfil.

Quedará de la siguiente manera:

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Tipos de líneas y sus grosores

Además, nos fijamos en las líneas y sus grosores. Según se comenta en el apartado «líneas normalizadas«, las líneas tienen unas características diferenciadas de trazado y de dimensión, dependiendo de su función.

En el apartado de tipo de líneas y aplicaciones, podemos ver:

• Línea continua o línea gruesa. Utilizada en contornos vistos y aristas vistas. De los tres tipos de línea es la más gruesa. Se dibujará con el lápiz 2B.
• Línea discontinua. Utilizada en contornos ocultos y aristas ocultas. Son de grosor medio, para diferenciarlo de las líneas continuas. De los tres tipos de línea es la más gruesa. Se dibujará con el lápiz 2B.
• Línea de trazos y puntos. Se trata de una línea fina, la más fina de todas, formada de trazos y puntos. Se utiliza en ejes de revolución, ejes de simetría y trayectorias.

Veamos un ejemplo:

Finalización de la lámina

Después de realizar el enlace y de repasar todas las líneas con el tipo de lápiz (según los grosores vistos anteriormente) adecuado a cada línea, las vistas delineadas quedarían así:

• Siempre que tengamos partes circulares en una pieza, vamos a tener que realizar algún tipo de enlace del tipo curva-recta o curva-curva.
• Los enlaces se deben hacer siguiendo unos pasos:
  • Hallar el centro del enlace
  • Hallar los puntos de tangencia
  • Trazar el enlace
• El enlace unirá los puntos de tangencia (saldrá del punto de tangencia 1 y finalizará en el punto de tangencia 2.
• Existe series de tres tipos de grosores (grueso, medio y fino) que debemos tener en cuenta para el trazado final de la pieza.
• Se debe apreciar fácilmente la diferencia entre los tipos de línea mediante la utilización de los grosores de línea.

Empieza un nuevo curso escolar

Ayer se realizó la jornada de acogida de todos los alumnos y alumnas de nuestro centro (Instituto Nicolás Larburu – Barakaldo). Un nuevo curso escolar (16-17) que se inicia con mucha gente nueva y mucha ilusión por realizar unos estudios que les cualificarán para acceder a un puesto de trabajo con garantias de empleabilidad.

Buscamos que nuestro alumnado adquiera las destrezas necesarias para que encuentren un buen trabajo y perduren y mejoren en él.

Y entre las novedades de este curso, tenemos este nuevo blog.
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Dibujo Técnico

En él blog Dibujo Técnico se recogen los contenidos de Interpretación Gráfica (vistas, cortes, secciones, acotación, etc.) y está dirigido dar apoyo a los alumnos y alumnas que cursan el primer curso de Fabricación Mecánica y de Soldadura y Calderería.

Todavía no está completado, pero a medida que vaya trascurriendo el curso, se irán implementando los contenidos, que estarán recogidos en el apartado de Temas (algunos de los apartados están en construcción).

Dibujo Geométrico

Es posible que se necesite la ayuda de los conocimientos recogidos en este blog dedicado al dibujo geométrico. Elementos como enlaces, tangencias, rectificaciones, ete. pueden ser de tran utilidad para los que estén en proceso de aprender el Dibujo Técnico.

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Piensa, sueña, cree y atrévete

Esa es la imagen que debemos tener presente durante todo el curso… y los siguientes. Además, sirve tanto para el alumnado como para el profesorado.

Hoy empezamos las clases, así que…

Bienvenidos y buena suerte a todos (alumnado y profesorado).

Los números de 2014

Los duendes de las estadísticas de WordPress.com prepararon un informe sobre el año 2014 de este blog.

Aquí hay un extracto:

El Museo del Louvre tiene 8.5 millones de visitantes por año. Este blog fue visto cerca de 550.000 veces en 2014. Si fuese una exposición en el Museo del Louvre, se precisarían alrededor de 24 días para que toda esa gente la visitase.

Haz click para ver el reporte completo.

Estrella de 8 puntas

En el moviliario popular vasco, existe una gran tradición de decorar con distintos tipos de estrellas. Las podemos encontrar en estanterías, mesas, sillas, arcas, puertas, etc.

En la imagen, tenemos una silla decorada con una estrella de 8 puntas. Veamos cómo se hace.

POLÍGONOS ESTRELLADOS. Son polígonos que tienen sus ángulos salientes y entrantes de forma alternativa, y cuyos lados constituyen una línea quebrada continua y cerrada.

Los polígonos regulares estrellados son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales.

Ya vimos como trabajar un octógono estrellado, pero en aquella ocasión buscábamos una estrella de 4 puntas. En este caso veremos que, el octógono regular estrellado, también llamado polígono estrellado de 8 puntas, se construye de la siguiente forma:

OPERACIONES

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1. Partimos con el octógono inscrito que hicimos en un trabajo anterior.

Según se explicó en el tema en 3.5. Polígonos estrellados, el octógono me dará dos posibles soluciones, es decir dos estrellas distintas.

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2. Para la primera, utilizaremos un avance 2, esto es, uniendo los vértices cada dos.

Unimos el vértice 1, con el 3. De la misma manera, unimos el vértice 2, con el 4, el 3 con el 5… y continuamos este procedimiento hasta completar todos los vértices.

Esta operación se deberá realizar con un trazo fino del lápiz (2H), para no emborronar el dibujo.

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3. Para dar por acabado el trabajo, habrá que repasar, con un trazo grueso del lapiz (2B), los vértices que queremos conservar, dejando sin marcar (si el trazado es fino, no será necesario borrar) los trazos que no me interesan.

Conseguimos la primera estrella de 8 puntas.

Solución 1.

 

4. Para la segunda estrella, utilizaremos un avance 3, es decir uniremos los vértices cada tres.

Igual que en el caso anterior, unimos el vértice 1, con el 4, el vértice 2, con el 5, el 3 con el 6… y continuamos este procedimiento hasta completar todos los vértices.

En esta operación se utilizará un trazo fino del lápiz (2H), para no emborronar el dibujo.

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5. Repasaremos, con un trazo grueso del lapiz (2B), los vértices que queremos conservar, dejando sin marcar (si el trazado es fino, no será necesario borrar) los trazos que no me interesan.

Vemos que esta estrella se va pareciendo a la de la silla del inicio.

Conseguimos la segunda estrella de 8 puntas.

Solución 2.

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6. Uniendo el centro del octógono con cada uno de los vértices de la estrella, los cóncavos y los convexos, tendremos que cada punta está formada por un rombo.

Cuando sombreamos todas las mitades de ese rombo, obtenemos una estrella con aspecto tridimensional.

En este caso, nuestra estrella de 8 puntas dibujada sobre el papel, se parece totalmente a la imagen de la estrella de la silla.

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Construcción de un triángulo equilátero, conociendo su perímetro

Según se explicó en el tema 3.1. Triángulos, el triángulo equilatero es aquel que tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos tienen el mismo valor.

Esto ya lo vimos en las construcciones:

• Triángulo equilátero, conociendo el lado,
• Triángulo equilátero mediante la utilización de las reglas, y
• Triángulo equilátero, conociendo la altura.

En este ejercicio, se va a construir un triángulo equilátero teniendo como dato el perímetro, definido por el segmento AA.

Recordando

El perímetro de una fígura es la suma de la longitud de todos sus lados. El perimétro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.

1. Dado que sabemos que el triángulo equilátero tienen tres lados iguales, tendremos que dividir el perímetro en tres partes iguales.

Para esta operación tenemos el método: Dividir un segmento en un número de partes iguales. En esta ocasión, utilizaremos un procedimiento parecido.

Desde el punto A (izquierda), trazamos una línea cualquiera (hacia arriba porque, por las condiciones del dibujo, no se puede realizar hacia abajo).

2. En la línea trazada, tomamos tres medidas. En vez de la utilización del compás, emplearemos una regla. Y, por ejemplo, trazamos una marca cada 20 milímetro.

Esta medida podría haber sido cualquiera..

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3. Desde la tercera marca, se une con el extremo A (derecha) del segmento AA.

Por las otras dos marcas, se trazaran paralelas a la anterior.

Se obtienen los puntos C y B, que son las divisiones en el pérímetro AA.

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4. Ya hemos conseguido encontrar el valor del lado del equilátero.

Pinchando con el compás en el punto C, se traza un arco con un radio R_CA.

 

 

5. De la misma forma, pinchando con el compás en el punto B, se traza un arco con un radio R_BA.

 

 

6. Los dos arcos trazados anteriormente, se cortan en un punto A, que será el vértice superior del triángulo equilátero.

Juanto a los vértices C y B, tenemos todos los datos para completar el triángulo equilátero solicitado a partir del perímetro.

7. Se repasan los tres lados, uniendo los tres vértices: A, B y C, y tenemos el triángulo equilátero que nos pedían.

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Construcción de una parábola

La parábola es una curva cónica y surge cuando el plano de corte es paralelo a una de las generatrices del cono.

 

La parábola es una curva plana, formada por puntos que tienen la propiedad de estar cada uno de ellos equidistante de un punto fijo, llamado foco, y de una recta llamada directriz. En todos los puntos de la curva, por ejemplo el punto F’, se cumple que r = r’. El vértice V es el punto medio de OF, distancia existente entre el foco y la directriz.

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Para realizar la construcción de la parábola, partimos de conocer los datos de la directriz  y el eje de la parábola donde están situados el vértice V y el foco F.

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1. A partir de los datos que nos dan (directriz, eje, vértice y foco), se trazan varias perpendiculares al eje de la parábola, por ejemplo cuatro.

Hacemos que una de ellas, pase por el foco F.

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2. Se toma un radio R_O1, distancia entre el punto O (intersección de la directriz con el eje de la parábola) y la intersección de la primera de las perpendiculares con el eje (punto 1).

Haciendo centro en el foco F y con el radio R_O1, se traza un arco que corte a la perpendicular correspondiente al punto 1.

Nos encontramos con dos puntos, el punto 1′ (superior) y el 1» (inferior).

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3. Se realiza la misma operación para los puntos 2, 3 y T.

Trazamos arcos desde el foco F con los radios: R_O2, R_O3 y R_OF.

Estos arcos cortan a las perpendiculares según:

• a la perpendicular 2, en los puntos 2′ y 2»,
• a la perpendicular 3, en los puntos 3′ y 3′‘, y
• a la perpendicular F, en los puntos F’ y F»,

 

Se obtienen los puntos que junto con el vértice V, formarán la parábola.

4. Como se ha visto, este método consiste en obtener los distintos puntos de la parábola. Por lo que, lógicamente, no se puede utilizar el compás para su trazado final. Para finalizar el trabajo, se unirán todos los puntos obtenidos en la operación anterior, mediante las plantillas de curvas (las más utilizadas son las plantillas Burmester).

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Estrella de 9 puntas

POLÍGONOS ESTRELLADOS. Son polígonos que tienen sus ángulos salientes y entrantes de forma alternativa, y cuyos lados constituyen una línea quebrada continua y cerrada.

Un eneágono regular estrellado, también llamado polígono estrellado de 9 puntas, tiene varias soluciones. Podéis encontrar mayor desarrollo del tema en 3.5. Polígonos estrellados. Las posibles estrellas salen a partir del avance que elijamos, en este caso los avances existentes son: 9/2, 9/3 y 9/4. Así que, tendremos tres estrellas de 9 puntos.

Y se construyen de la siguiente forma:

1. Partimos del eneágono inscrito realizado en otra ocasión.

Para la realización de la primera de las estrellas, utilizaremos el avance 9/2, es decir, se irán uniendo los nueve vértices, cada dos.

Desde el vértice 1, trazamos una línea con el punto 3. El vértice 2, lo unimos con 4; el vértice 3, lo unimos con 5… así sucesivamente hasta completar todos los vértices..

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2. A partir de ese trazado (en fino) se repasa, con un trazado más grueso, los ángulos, cóncavos y convexos, hasta completar la estrella.

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Repasando las líneas «buenas», quedaría:

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3. Para la realización de la segunda estrella, utilizaremos el avance 9/3, es decir, se irán uniendo los nueve vértices, cada tres.

Desde el vértice 1, trazamos una línea con el punto 4. El vértice 2, lo unimos con 5; el vértice 3, lo unimos con 6… así sucesivamente hasta completar todos los vértices.

 

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4. Igual que en ejemplo anterior, a partir de ese trazado (en fino) se repasa, con un trazado más grueso, los ángulos, cóncavos y convexos, hasta completar la estrella.

 

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Repasando las líneas «buenas», quedaría:

 

5. Para la realización de la tercera estrella, utilizaremos el avance 9/4, es decir, se irán uniendo los nueve vértices, cada cuatro.

Desde el vértice 1, trazamos una línea con el punto 5. El vértice 2, lo unimos con 6; el vértice 3, lo unimos con 7… así sucesivamente hasta completar todos los vértices.

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6. Igual que en los ejemplos anteriores, a partir de ese trazado (en fino) se repasa, con un trazado más grueso, los ángulos, cóncavos y convexos, hasta completar la estrella.

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Repasando las líneas «buenas», quedaría:

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Eneágono inscrito

En otra ocasión vimos la construcción de un eneágono, teniendo como dato el lado.

En este caso construiremos un eneágono inscrito en una circunferencia. Lógicamente, el dato que necesitamos es el radio de la circunferencia donde se inscribe.

Recordamos

Un eneágono es una superficie cerrada y plana, formada por la intersección de 9 líneas (llamados lados del eneágono), que se cortan en 9 vértices (ángulos del eneágono).

Un eneágono regular es aquel formado por lados de la misma longitud y ángulos del mismo valor.

Veamos cómo se construye un eneágono regular inscrito en una circunferencia, cuando nos dan como dato el radio de la circunferencia.

1. De la misma forma que en otras ocasiones, en un punto cualquiera (también podría venir determinado), trazamos los dos ejes.

En la intersección de los dos ejes, situamos el centro O y, con el radio AB (R_AB), trazamos la circunferencia donde se inscribirá el eneágono regular.

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2. La circunferencia corta a los ejes en los puntos C y D.

Haciendo centro en C, trazamos un arco con el radio AB (R_AB). Corta a la circunferencia en el punto E.

De la misma forma, se traza un arco desde el punto D, con el radio AB (R_AB). Corta a la circunferencia en el punto F.
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3. Haciendo centro en C, trazamos un arco con el radio CF. corta al eje horizontal en el punto G.

De la misma forma, se traza un arco desde el punto D, con el radio DE. Corta al eje horizontal en el mismo punto G.

NOTA: El punto obtenido por la intersección de los dos arcos (punto G), debe coincidir sobre el eje horizontal. Ojo, este punto se convierte en un punto de control.

4. Pinchando con el compás en el punto G, se traza un arco con el radio GC de tal forma que pase por los puntos C y D.

Este arco corta el eje horizontal en el punto H. El eje horizontal, también corta a la circunferencia en el punto I.

La distancia que obtenemos entre el punto H y el punto I será el lado que construirá el eneágono inscrito en la circunferencia.

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5. Con una abertura del compás equivalente a radio IH, se trazan los nueve arcos en la circunferencia. Obtendremos los nueve vértices del eneágono regular inscrito.

Como en otras ocasiones, debemos aconsejar el trazar los arcos desde un lado del eje vértical (lado izquierdo: vértices 2, 3, 4, y 5) y desde el otro (lado derecho: vértices 9, 8, 7 y 6). De esta forma, estaremos repatartiendo el posible error.

NOTA: Si el punto 1, lo hemos iniciado en el punto D, vértice superior del eneágono, el lado 5-6, base del eneágono, deberá ser paralelo al eje horizontal.

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6. Se unen los nueve puntos obtenidos en la operación anterior y nos aparece el eneágono regular, inscrito en la circunferencia que nos pedían.

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7. Se repasa el trazado de los nueve vétices y queda finalizada la construcción del eneágono regular inscrito en la circunferencia con radio dado. Solución.
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Resumen en imágenes

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Suma de ángulos

Nos proponen el siguiente ejercicio: calcular gráficamente la suma de los ángulos A, B y C, es decir A+B+C.

Este ejercicio se podría haber realizado matemáticamente: con un transportador de ángulos, se mide cada uno de los ángulos, se suman matemáticamente y problema resuelto. Pero nos dicen «calcular gráficamente».

La resolución se reduce a transaldar (ver apartado 2.1.1. Transladar o transportar un ángulo) los distintos ángulos a un punto donde se recoja la suma de los tres.

1. Es posible que me indiquen donde debo colocar la suma de los tres ángulos, algo así «a partir de la recta r y del punto O, colocar la suma de los tres ángulos…».

Si no es así, ambos datos los deberé designar yo mismo. Así que elijo una recta r cualquiera y selecciono un punto O perteneciente a dicha recta.

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2. Ahora cogemos un compás y lo abro con una medida cualquiera. No importa cual sea esa abertura, solamente que pueda abarcar a todos los ángulos.

En nuestro caso cogemos una abertura del compás de radio R, y trazamos arcos en los tres ángulos y en el punto O de la recta r. Insisto, la abertura del compás puede ser cualquiera, pero una vez elegida, no se puede modificar y se trazará en todos los ángulos y el punto O.

Nos fijamos que los arcos cortan a los lados del ángulo A en los puntos 1 y 2, al ángulo B en 3 y 4 y a los del ángulo C en 5 y 6.

NOTA. Para no confundirnos con estas operaciones, conviene poner números o letras a los puntos.

3. Ahora ya podemos mover el compás.

Utilizando el compás y pinchando en el punto 1 del ángulo A, lo abrimos hasta el punto 2, y trazamos un pequeño arco.

Repetimos ese pequeño arco desde el punto 1′ que está situado en la recta r. Obtenemos el punto 2′.

Si unimos 2′ con O, tendré el ángulo A transportado a este nuevo punto.

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4. Repetimos la operación para los ángulos B y C, pero teniendo cuidado de empezar el trazado donde ha acabado el anterior.

Nos queda la imagen de la derecha.
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5. Igual que antes, si unimos todos estos puntos con el punto O, nos darán los tres ángulos, que están dispuestos uno a continuación de otro.
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6. El resultado final es el que se obtiene con el lado que pasa por el punto 1′ y con el lado que pasa por el punto 6′.

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7. Si repasamos estos dos lados (los que forman el ángulo suma), obtendré el ángulo equivalente a la suma de los otros tres, habré realizado gráficamente la suma de A+B+C. SOLUCIÓN

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