Estrella de 8 puntas

En el moviliario popular vasco, existe una gran tradición de decorar con distintos tipos de estrellas. Las podemos encontrar en estanterías, mesas, sillas, arcas, puertas, etc.

En la imagen, tenemos una silla decorada con una estrella de 8 puntas. Veamos cómo se hace.

POLÍGONOS ESTRELLADOS. Son polígonos que tienen sus ángulos salientes y entrantes de forma alternativa, y cuyos lados constituyen una línea quebrada continua y cerrada.

Los polígonos regulares estrellados son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales.

Ya vimos como trabajar un octógono estrellado, pero en aquella ocasión buscábamos una estrella de 4 puntas. En este caso veremos que, el octógono regular estrellado, también llamado polígono estrellado de 8 puntas, se construye de la siguiente forma:

OPERACIONES

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1. Partimos con el octógono inscrito que hicimos en un trabajo anterior.

Según se explicó en el tema en 3.5. Polígonos estrellados, el octógono me dará dos posibles soluciones, es decir dos estrellas distintas.

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2. Para la primera, utilizaremos un avance 2, esto es, uniendo los vértices cada dos.

Unimos el vértice 1, con el 3. De la misma manera, unimos el vértice 2, con el 4, el 3 con el 5… y continuamos este procedimiento hasta completar todos los vértices.

Esta operación se deberá realizar con un trazo fino del lápiz (2H), para no emborronar el dibujo.

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3. Para dar por acabado el trabajo, habrá que repasar, con un trazo grueso del lapiz (2B), los vértices que queremos conservar, dejando sin marcar (si el trazado es fino, no será necesario borrar) los trazos que no me interesan.

Conseguimos la primera estrella de 8 puntas.

Solución 1.

 

4. Para la segunda estrella, utilizaremos un avance 3, es decir uniremos los vértices cada tres.

Igual que en el caso anterior, unimos el vértice 1, con el 4, el vértice 2, con el 5, el 3 con el 6… y continuamos este procedimiento hasta completar todos los vértices.

En esta operación se utilizará un trazo fino del lápiz (2H), para no emborronar el dibujo.

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5. Repasaremos, con un trazo grueso del lapiz (2B), los vértices que queremos conservar, dejando sin marcar (si el trazado es fino, no será necesario borrar) los trazos que no me interesan.

Vemos que esta estrella se va pareciendo a la de la silla del inicio.

Conseguimos la segunda estrella de 8 puntas.

Solución 2.

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6. Uniendo el centro del octógono con cada uno de los vértices de la estrella, los cóncavos y los convexos, tendremos que cada punta está formada por un rombo.

Cuando sombreamos todas las mitades de ese rombo, obtenemos una estrella con aspecto tridimensional.

En este caso, nuestra estrella de 8 puntas dibujada sobre el papel, se parece totalmente a la imagen de la estrella de la silla.

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Construcción de un triángulo equilátero, conociendo su perímetro

Según se explicó en el tema 3.1. Triángulos, el triángulo equilatero es aquel que tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos tienen el mismo valor.

Esto ya lo vimos en las construcciones:

• Triángulo equilátero, conociendo el lado,
• Triángulo equilátero mediante la utilización de las reglas, y
• Triángulo equilátero, conociendo la altura.

En este ejercicio, se va a construir un triángulo equilátero teniendo como dato el perímetro, definido por el segmento AA.

Recordando

El perímetro de una fígura es la suma de la longitud de todos sus lados. El perimétro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.

1. Dado que sabemos que el triángulo equilátero tienen tres lados iguales, tendremos que dividir el perímetro en tres partes iguales.

Para esta operación tenemos el método: Dividir un segmento en un número de partes iguales. En esta ocasión, utilizaremos un procedimiento parecido.

Desde el punto A (izquierda), trazamos una línea cualquiera (hacia arriba porque, por las condiciones del dibujo, no se puede realizar hacia abajo).

2. En la línea trazada, tomamos tres medidas. En vez de la utilización del compás, emplearemos una regla. Y, por ejemplo, trazamos una marca cada 20 milímetro.

Esta medida podría haber sido cualquiera..

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3. Desde la tercera marca, se une con el extremo A (derecha) del segmento AA.

Por las otras dos marcas, se trazaran paralelas a la anterior.

Se obtienen los puntos C y B, que son las divisiones en el pérímetro AA.

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4. Ya hemos conseguido encontrar el valor del lado del equilátero.

Pinchando con el compás en el punto C, se traza un arco con un radio R_CA.

 

 

5. De la misma forma, pinchando con el compás en el punto B, se traza un arco con un radio R_BA.

 

 

6. Los dos arcos trazados anteriormente, se cortan en un punto A, que será el vértice superior del triángulo equilátero.

Juanto a los vértices C y B, tenemos todos los datos para completar el triángulo equilátero solicitado a partir del perímetro.

7. Se repasan los tres lados, uniendo los tres vértices: A, B y C, y tenemos el triángulo equilátero que nos pedían.

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Estrella de 9 puntas

POLÍGONOS ESTRELLADOS. Son polígonos que tienen sus ángulos salientes y entrantes de forma alternativa, y cuyos lados constituyen una línea quebrada continua y cerrada.

Un eneágono regular estrellado, también llamado polígono estrellado de 9 puntas, tiene varias soluciones. Podéis encontrar mayor desarrollo del tema en 3.5. Polígonos estrellados. Las posibles estrellas salen a partir del avance que elijamos, en este caso los avances existentes son: 9/2, 9/3 y 9/4. Así que, tendremos tres estrellas de 9 puntos.

Y se construyen de la siguiente forma:

1. Partimos del eneágono inscrito realizado en otra ocasión.

Para la realización de la primera de las estrellas, utilizaremos el avance 9/2, es decir, se irán uniendo los nueve vértices, cada dos.

Desde el vértice 1, trazamos una línea con el punto 3. El vértice 2, lo unimos con 4; el vértice 3, lo unimos con 5… así sucesivamente hasta completar todos los vértices..

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2. A partir de ese trazado (en fino) se repasa, con un trazado más grueso, los ángulos, cóncavos y convexos, hasta completar la estrella.

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Repasando las líneas «buenas», quedaría:

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3. Para la realización de la segunda estrella, utilizaremos el avance 9/3, es decir, se irán uniendo los nueve vértices, cada tres.

Desde el vértice 1, trazamos una línea con el punto 4. El vértice 2, lo unimos con 5; el vértice 3, lo unimos con 6… así sucesivamente hasta completar todos los vértices.

 

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4. Igual que en ejemplo anterior, a partir de ese trazado (en fino) se repasa, con un trazado más grueso, los ángulos, cóncavos y convexos, hasta completar la estrella.

 

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Repasando las líneas «buenas», quedaría:

 

5. Para la realización de la tercera estrella, utilizaremos el avance 9/4, es decir, se irán uniendo los nueve vértices, cada cuatro.

Desde el vértice 1, trazamos una línea con el punto 5. El vértice 2, lo unimos con 6; el vértice 3, lo unimos con 7… así sucesivamente hasta completar todos los vértices.

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6. Igual que en los ejemplos anteriores, a partir de ese trazado (en fino) se repasa, con un trazado más grueso, los ángulos, cóncavos y convexos, hasta completar la estrella.

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Repasando las líneas «buenas», quedaría:

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Triángulo rectángulo a partir de la hipotenusa y un cateto

En otra ocasión vimos cómo construir un triángulo rectángulo a partir de los dos catetos. El trabajo de ahora es construir un triángulo rectángulo pero con la hipotenusa y uno de los catetos.

Como ya se ha dicho en otra ocasión, para construir un triángulo necesitamos tres datos.

En el caso del triángulo Rectángulo, sabemos que uno de los ángulos es un ángulo recto, de 90º, que unido a los otros dos datos que me proporciona el enunciado del ejercicio, tengo los elementos necesarios para poder hacer la construcción.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos y en el apartado 3.1.2. Trazados de triángulos.

Buscamos el triángulo de la figura de arriba, y los datos con los que partimos son:

• La hipotenusa b del triángulo rectángulo
• y el cateto c.

1. Seleccionamos una línea r donde vamos a construir el triángulo rectángulo que nos piden.

Elegimos un punto cualquiera de esa recta. A partir de este punto, y ayudados del compás, llevamos la medida de la hipotenusa b.

Conseguimos situar la hipotenusa b sobre la recta r.

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2. Necesitamos hayar el punto medio de la hipotenusa b, así que trazamos le mediatriz.

Obtenemos el punto M, que como se ha dicho, es el punto medio de la hipotenusa.

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3. Haciendo centro en el punto medio (punto M), es decir, pinchando con el compás en el punto M, trazamos un arco de circunferencia que pase por los dos extremos de la circunferencia.

Cualquier punto de esa circunferencia que unamos con los dos extremos de la hipotenusa, me dará un triángulo rectángulo. Es una variación de arco capaz.

Pero no nos vale cualquier punto, ya que uno de los catetos, el cateto c, tiene un valor determinado.

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4. Utilizando el compás, cogemos la medida del cateto c y la trasladamos a uno de los extremos de la hipotenusa b, por ejemplo al izquierdo.

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5. Según lo dicho anteriormente, si unimos este punto con los dos extremos de  la hipotenusa b, obtenemos un triángulo rectángulo.

El ángulo recto se encuentra en la línea curva de la semicircunferencia.

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6. Se repasan los tres lados, y tenemos el triángulo que nos pedían. SOLUCIÓN.

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Triángulo rectángulo, conociendo dos catetos

Como ya se ha dicho en otra ocasión, para construir un triángulo necesitamos tres datos. En el caso del triángulo Rectángulo, sabemos que uno de los ángulos es un ángulo recto, es decir, dos de sus lados (catetos) son perpendiculares entre si. De esta forma, para construir un triángulo rectángulo, tan solo necesitaremos dos datos.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos.

Los datos con los que partimos son:

• Cateto mayor, lado b  del triángulo rectángulo.
• Cateto menor, lado c.

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1. Seleccionamos una línea r cualquiera, donde vamos a construir el triángulo rectángulo que nos piden.

Elegimos un punto cualquiera de esa recta (primer punto del triángulo), y pinchando con el compás sobre este punto, llevamos la medida del cateto mayor (lado b).

Hemos situado el lado b sobre la recta r, y hemos conseguido dos vértices del triángulo.

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2. Sobre uno de los extremos del lado b, por ejemplo el de la izquierda, trazamos una recta s perpendicular a la recta r.

NOTA

Mientras en el planteamiento del trabajo no nos obliguen a nada, podré utilizar el método que quiera. Deberé elegir entre hacer una utilización correcta de la escuadra y el cartabón, o bien, utilizando el compás.

En este ejercicio, realizaremos la perpendicular utilizando el compás.

3. Con la medida del compás del lado c (radio c), trazamos un arco a partir del lado b, sobre la recta s.

Hemos situado el lado c sobre la línea s, que es perpendicular al lado b. De esta forma, los lados b y c son perpendiculares.

También hemos conseguido el tercer vértice del triángulo.

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4. Juntando los tres vértices, tendremos el triángulo rectángulo que nos piden.

 

 

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5. Se repasan los tres lados, uniendo los tres vértices. SOLUCIÓN.

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Heptágono inscrito

En otra ocasión vimos la construcción de un heptágono, teniendo como dato el lado.

Ahora, en este caso, tenemos que construir un heptágono que está inscrito en una circunferencia y, por este motivo, el dato que nos proporcionan para resolver el ejercicio es el radio de la circunferencia donde se inscribe.

Recordamos

Un hexágono es una superficie cerrada y plana, formada por la intersección de 6 líneas (llamados lados del heptágono), que se cortan en 7 vértices (ángulos del heptágono).

Un heptágono regular es aquel formado por lados de la misma longitud y ángulos del mismo valor.

Veamos como se construye un Heptágono regular inscrito en una circunferencia, cuando nos dan como dato el radio de la circunferencia.

1. De la misma forma que en otras ocasiones, en un punto cualquiera (también podría venir determinado), trazamos los dos ejes.

A partir de la intersección de los dos ejes, situamos el centro y, con el radio AB trazamos la circunferencia donde se inscribirá el heptágono.

Marcamos el punto D, que está situado donde el eje horizontal corta a la circunferencia.

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2. Pinchando con el compás en el punto D y con el radio AB, se traza un arco, que lógicamente deberá pasar por el centro de la circunferencia (punto O).

Este arco corta a la circunferencia en los puntos E y F.
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3. Mediante una línea recta, unimos los puntos E y F. El punto G (situado sobre el eje horizontal) es el punto medio del segmento EF.

La distancia existente entre el punto G y el punto E, será el radio GE que se convertirá en el lado del heptágono inscrito.

Fijamos el punto 1, que se situa donde el eje vertical corta a la circunferencia.

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4. A partir del punto 1, trazamos un arco con el radio GE.

Se obtiene los puntos 2 y 7 del heptágono.

Siguiendo los dos puntos trazados, utilizando el compás con el radio GE, trazaremos el resto de los puntos.

Nota

Si se ha cometido un pequeño error en el cálculo del radio, cuando se trazan arcos, uno a continuación de otro, el error final será muy grande.

Para minimizar este problema, llevaremos los puntos 3 y 4, a partir del punto 2. Mientras que los puntos 6 y 5, los llevaremos desde el punto 7.

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5. Con todos los puntos marcados (1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7), trazamos suavemente el heptágono inscrito.

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6. Se repasa el trazado anterior y queda finalizada la construcción de un  heptágono regular inscrito en la circunferencia con radio dado. Solución.

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Resumen en imágenes

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Hexágono inscrito

En otra ocasión vimos la construcción de un hexágono, teniendo como dato el lado. Ahora, en este caso, tenemos que construir un hexágono que está inscrito en una circunferencia y, por este motivo, el dato que nos proporcionan para resolver el ejercicio es el radio de la circunferencia donde se inscribe.

Recordamos

Un hexágono es una superficie cerrada y plana, formada por la intersección de 6 líneas (llamados lados del hexágono), que se cortan en 6 vértices (ángulos del hexágono).

Un hexágono regular es aquel formado por lados de la misma longitud y ángulos del mismo valor.

Si nos fijamos, vemos que las dos construcciones (la que vimos a partir del lado y la que vamos a ver ahora) tienen las mismas operaciones, se trata del mismo proceso de construcción. Pero…

• En el primer caso, tomamos el lado como si fuese el radio y eso acarrea un pequeño error. Según la fórmula de la longitud de la circunferencia: 2Πr, vemos que al multiplicar 2Π, tenemos 6,28. Al dividir la circunferencia mediante el lado en 6 partes, estamos cometiendo un error debido a eso 0,28.
• En el caso que veremos a continuación, este error no se produce ya que el dato es el radio de la propia circunferencia donde lo inscribimos.

Veamos como se construye un Hexágono regular inscrito en una circunferencia, cuando nos dan como dato el radio de la circunferencia.

1. Aunque las operaciones sean las mismas, el dato con el que vamos a trabajar no es el lado, sino el radio de la circunferencia.

En un punto cualquiera (también podría venir determinado), trazamos los dos ejes. A partir de la intersección de los dos ejes, trazamos la circunferencia.

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2. Donde uno de los ejes, por ejemplo el eje horizontal (también podría ser el vertical), corta a la circunferencia, trazamos dos arcos con el radio AB.

Un arco a la izquierda y otro a la derecha.

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3. En la operación anterior, se ha obtenido 4 puntos mediantes el trazado de los dos arcos que, sumados a los dos proporcionados por eje horizontal, conforman los 6 puntos necesarios para hacer el Hexágono.

4. Uniendo los 6 puntos obtenemos el Hexágono regular inscrito en la circunferencia de radio AB.

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Triángulo obtusángulo a partir de dos lados y un ángulo

Como ya se ha dicho en otras ocasiones, para construir un triángulo necesitamos tres datos. En este caso nos dan dos lados y el ángulo correspondiente a uno de esos ángulos, es decir el lado b, el lado a y el ángulo A, y nos piden construir un triángulo obtusángulo.

Recordando. Triángulo Obtusángulo es aquel que tiene un ángulo obtuso. Ángulo Obtuso es aquel que tiene un ángulo mayor de 90º.

La forma de resolver este ejercicio es la misma que se ha realizado en otro tipo de trazados de triángulos, aunque, dado que nos piden que el triángulo sea obtusángulo, tiene una particularidad. La veremos.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos.

Los datos con los que partimos son:

• Los lados a y b,
• Ángulo A, y
• Se trata de un triángulo obtusángulo.

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1. Como en otras ocasiones, colocamos una recta r cualquiera y seleccionamos un punto donde empezar a trabajar. Si me dieran el punto a partir del cual tengo que hacer la construcción, lógicamente no debería seleccionar ni la recta ni el punto.

Sobre ese punto y en esa recta r, utilizando el compás, llevamos el lado b.

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2. Trasladamos el ángulo A a un extremo del lado b, que hemos trazado en la operación anterior.

Aunque se podría utilizar el transportador de ángulos, en general no se recomienda. Seguiremos practicando las herramientas de dibujo (compás y reglas)

Para disponer de espacio suficiente, se prolonga el lado del ángulo A que acabamos de trasladar.

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3. En el otro extremo del lado b, se traza un arco con el lado a.

Recordad que un lado es opuesto al ángulo del mismo nombre. El lado a, será el opuesto al ángulo A (ver Denominación de los lados-ángulos de un triángulo).

Podemos apreciar una cosa curiosa, que ese arco, corta a la prolongación del ángulo A en dos puntos, el punto 1 y el punto 2. Esto quiere decir, que con los datos que nos han dado, puedo construir dos triángulos.

Pero no me piden un triángulo cualquiera. De las dos soluciones que puedo construir, tengo que elegir la que determine un triángulo obtusángulo.

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4. Según esto, el triángulo obtusángulo, que es el que tiene un ángulo obtuso, es el formado por el vértice correspondiente al punto 2.

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Si por el contrario, me hubieran pedido un triángulo acutángulo (los tres ángulos del triángulo son agudos), hubiera tenido que elegir la solución formada con el vértice del punto 1.

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Para un triángulo acutángulo la solución sería como la imagen de la izquierda. 

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NOTA.

Con esto deducimos que:

• Si el lado a, como en el caso que nos piden, es mayor a la altura del ángulo C, tenemos dos soluciones, con lo que habrá que elegir la que mejor defina el enunciado (triángulo acutángulo o triángulo obtusángulo).
• Si el lado a es igual a la altura del ángulo C, el triángulo solamente tiene una solución, y el triángulo resultante sería un triángulo rectángulo (un ángulo recto).
• Mientras que si el lado a es menor a la altura, el lado no llegaría a cortar al otro lado del triángulo y por tanto no se podría construir el triángulo. No habrá solución.

5. Así que, según visto el punto anterior, el triángulo obtusángulo que nos piden es el construye con el vértice en el punto 2. SOLUCIÓN.
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Triángulo, con lado y ángulos adyacentes

En este caso nos piden que construyamos un triángulo, teniendo como datos: un lado y los ángulos adyacentes. La complejidad reside en saber qué son ángulos adyacentes.

Ángulos adyacentes son los que tienen un vértice y un lado comun. En nuestro caso tenemos que el lado b, es el lado común a los dos ángulos A y C. A partir de este dato, el ejercicio es sencillo.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos.

Los datos con los que partimos son:

• El lado b, y
• Los ángulos adyacentes, ángulo A y ángulo C.

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1. En un lugar cualquiera, se traza una línea r y se marca un punto donde vamos a trabajar.

A partir de este punto y utilizando el compás, se lleva el lado b sobre la recta r que habíamos marcado anteriormente.

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2. En los extremos del segmento b, realizado en la operación anterior, se colocan el vértice A y el vértice B.

Para realizar esta operación, se debe conocer la operación de trasladar o transportar un ángulo. Lo podéis encontar en el apartado: 2.1.1. Transladar o transportar un ángulo.

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3. De la misma manera, se lleva el ángulo C al otro extremo del segmento b.

Prolongando los lados del ángulo A y del ángulo C, se cortan en el vértice B.

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4. Uniendo los tres vértices: A, B y C, obtenemos el triángulo construido con el lado b y los ángulos adyacentes A y C.

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5. Se repasan los tres lados a, b y c, uniendo los tres vértices: A, B y C, y tenemos el triángulo que nos pedían. SOLUCIÓN.

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Triángulo equilátero, conociendo la altura

Como ya se ha dicho en otra ocasión, para construir un triángulo necesitamos tres datos. En el caso del triángulo Equilátero, dado que los tres lados son iguales y los tres ángulos, también, tan solo necesitaremos un dato.

En un ejercicio anterior, resolvimos la construcción de un triángulo equilátero conociendo el lado. En esta ocasión, el dato que me dan es la altura de ese triángulo equilátero.

Este ejercicio se puede realizar de varias formas, pero para resolverlo utilizaremos la escuadra y el cartabón.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos.

Los datos con los que partimos son:

• La altura h del triángulo equilátero.

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1. Seleccionamos una línea r donde vamos a construir el triángulo equilátero que nos piden.

Utilizando correctamente la escuadra y el cartabón, trazamos una línea que sea perpendicular a la recta r.

Recordamos que la altura debe ser perpendicular al lado opuesto del vértice al que pertenece.

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2. Pinchamos con el compás en el punto de intersección de la recta perpendicular con la recta r, y con una abertura equivalente a la altura (radio h), trazamos un arco hasta cortar a la perpendicular.

Obtenemos el vértice superior, punto A, con la altura h colocada en su lugar.

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3. Utilizando nuevamente la escuadra y el cartabón, las colocamos de tal forma que la escuadra sirva de apoyo, mientras que el cartabón será el que se deslice.

Dado que uno de los ángulos del cartabón tiene 60º, tendremos que disponer esta herramienta según aparece en la figura, con el ángulo de 60º a la izquierda de la altura.

En esta posición, trazamos unos de los lados del triángulo equilátero.

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4. Al realizar la operación anterior, conseguimos el lado del triángulo y el vértice B.

Nota. Para la siguiente operación, se podría utilizar la escuadra y cartabón de la misma forma que se acaba de hacer, tan solo habría que dar vuelta al cartabón, sin mover la escuadra, y situar el ángulo de 60º a la derecha de la altura. Pero haremos lo siguiente…

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5. Pinchamos con el compás en el punto de intersección de la altura con la recta r, y con una abertura del compás hasta el punto B, trazamos un arco y obtenemos el vértice que nos falta: el punto C.

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Recordando. Esto, de forma general, únicamente se cumple por ser un triángulo equilátero. Dado que la altura es perpendicular al lado opuesto, lo cortará en su punto medio.

6. Se repasan los tres lados, uniendo los tres vértices: A, B y C, y tenemos el triángulo que nos pedían. SOLUCIÓN.

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