Construcción de un triángulo equilátero, conociendo su perímetro

Según se explicó en el tema 3.1. Triángulos, el triángulo equilatero es aquel que tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos tienen el mismo valor.

Esto ya lo vimos en las construcciones:

• Triángulo equilátero, conociendo el lado,
• Triángulo equilátero mediante la utilización de las reglas, y
• Triángulo equilátero, conociendo la altura.

En este ejercicio, se va a construir un triángulo equilátero teniendo como dato el perímetro, definido por el segmento AA.

Recordando

El perímetro de una fígura es la suma de la longitud de todos sus lados. El perimétro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.

1. Dado que sabemos que el triángulo equilátero tienen tres lados iguales, tendremos que dividir el perímetro en tres partes iguales.

Para esta operación tenemos el método: Dividir un segmento en un número de partes iguales. En esta ocasión, utilizaremos un procedimiento parecido.

Desde el punto A (izquierda), trazamos una línea cualquiera (hacia arriba porque, por las condiciones del dibujo, no se puede realizar hacia abajo).

2. En la línea trazada, tomamos tres medidas. En vez de la utilización del compás, emplearemos una regla. Y, por ejemplo, trazamos una marca cada 20 milímetro.

Esta medida podría haber sido cualquiera..

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3. Desde la tercera marca, se une con el extremo A (derecha) del segmento AA.

Por las otras dos marcas, se trazaran paralelas a la anterior.

Se obtienen los puntos C y B, que son las divisiones en el pérímetro AA.

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4. Ya hemos conseguido encontrar el valor del lado del equilátero.

Pinchando con el compás en el punto C, se traza un arco con un radio R_CA.

 

 

5. De la misma forma, pinchando con el compás en el punto B, se traza un arco con un radio R_BA.

 

 

6. Los dos arcos trazados anteriormente, se cortan en un punto A, que será el vértice superior del triángulo equilátero.

Juanto a los vértices C y B, tenemos todos los datos para completar el triángulo equilátero solicitado a partir del perímetro.

7. Se repasan los tres lados, uniendo los tres vértices: A, B y C, y tenemos el triángulo equilátero que nos pedían.

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Triángulo rectángulo a partir de la hipotenusa y un cateto

En otra ocasión vimos cómo construir un triángulo rectángulo a partir de los dos catetos. El trabajo de ahora es construir un triángulo rectángulo pero con la hipotenusa y uno de los catetos.

Como ya se ha dicho en otra ocasión, para construir un triángulo necesitamos tres datos.

En el caso del triángulo Rectángulo, sabemos que uno de los ángulos es un ángulo recto, de 90º, que unido a los otros dos datos que me proporciona el enunciado del ejercicio, tengo los elementos necesarios para poder hacer la construcción.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos y en el apartado 3.1.2. Trazados de triángulos.

Buscamos el triángulo de la figura de arriba, y los datos con los que partimos son:

• La hipotenusa b del triángulo rectángulo
• y el cateto c.

1. Seleccionamos una línea r donde vamos a construir el triángulo rectángulo que nos piden.

Elegimos un punto cualquiera de esa recta. A partir de este punto, y ayudados del compás, llevamos la medida de la hipotenusa b.

Conseguimos situar la hipotenusa b sobre la recta r.

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2. Necesitamos hayar el punto medio de la hipotenusa b, así que trazamos le mediatriz.

Obtenemos el punto M, que como se ha dicho, es el punto medio de la hipotenusa.

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3. Haciendo centro en el punto medio (punto M), es decir, pinchando con el compás en el punto M, trazamos un arco de circunferencia que pase por los dos extremos de la circunferencia.

Cualquier punto de esa circunferencia que unamos con los dos extremos de la hipotenusa, me dará un triángulo rectángulo. Es una variación de arco capaz.

Pero no nos vale cualquier punto, ya que uno de los catetos, el cateto c, tiene un valor determinado.

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4. Utilizando el compás, cogemos la medida del cateto c y la trasladamos a uno de los extremos de la hipotenusa b, por ejemplo al izquierdo.

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5. Según lo dicho anteriormente, si unimos este punto con los dos extremos de  la hipotenusa b, obtenemos un triángulo rectángulo.

El ángulo recto se encuentra en la línea curva de la semicircunferencia.

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6. Se repasan los tres lados, y tenemos el triángulo que nos pedían. SOLUCIÓN.

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Triángulo rectángulo, conociendo dos catetos

Como ya se ha dicho en otra ocasión, para construir un triángulo necesitamos tres datos. En el caso del triángulo Rectángulo, sabemos que uno de los ángulos es un ángulo recto, es decir, dos de sus lados (catetos) son perpendiculares entre si. De esta forma, para construir un triángulo rectángulo, tan solo necesitaremos dos datos.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos.

Los datos con los que partimos son:

• Cateto mayor, lado b  del triángulo rectángulo.
• Cateto menor, lado c.

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1. Seleccionamos una línea r cualquiera, donde vamos a construir el triángulo rectángulo que nos piden.

Elegimos un punto cualquiera de esa recta (primer punto del triángulo), y pinchando con el compás sobre este punto, llevamos la medida del cateto mayor (lado b).

Hemos situado el lado b sobre la recta r, y hemos conseguido dos vértices del triángulo.

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2. Sobre uno de los extremos del lado b, por ejemplo el de la izquierda, trazamos una recta s perpendicular a la recta r.

NOTA

Mientras en el planteamiento del trabajo no nos obliguen a nada, podré utilizar el método que quiera. Deberé elegir entre hacer una utilización correcta de la escuadra y el cartabón, o bien, utilizando el compás.

En este ejercicio, realizaremos la perpendicular utilizando el compás.

3. Con la medida del compás del lado c (radio c), trazamos un arco a partir del lado b, sobre la recta s.

Hemos situado el lado c sobre la línea s, que es perpendicular al lado b. De esta forma, los lados b y c son perpendiculares.

También hemos conseguido el tercer vértice del triángulo.

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4. Juntando los tres vértices, tendremos el triángulo rectángulo que nos piden.

 

 

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5. Se repasan los tres lados, uniendo los tres vértices. SOLUCIÓN.

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Triángulo obtusángulo a partir de dos lados y un ángulo

Como ya se ha dicho en otras ocasiones, para construir un triángulo necesitamos tres datos. En este caso nos dan dos lados y el ángulo correspondiente a uno de esos ángulos, es decir el lado b, el lado a y el ángulo A, y nos piden construir un triángulo obtusángulo.

Recordando. Triángulo Obtusángulo es aquel que tiene un ángulo obtuso. Ángulo Obtuso es aquel que tiene un ángulo mayor de 90º.

La forma de resolver este ejercicio es la misma que se ha realizado en otro tipo de trazados de triángulos, aunque, dado que nos piden que el triángulo sea obtusángulo, tiene una particularidad. La veremos.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos.

Los datos con los que partimos son:

• Los lados a y b,
• Ángulo A, y
• Se trata de un triángulo obtusángulo.

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1. Como en otras ocasiones, colocamos una recta r cualquiera y seleccionamos un punto donde empezar a trabajar. Si me dieran el punto a partir del cual tengo que hacer la construcción, lógicamente no debería seleccionar ni la recta ni el punto.

Sobre ese punto y en esa recta r, utilizando el compás, llevamos el lado b.

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2. Trasladamos el ángulo A a un extremo del lado b, que hemos trazado en la operación anterior.

Aunque se podría utilizar el transportador de ángulos, en general no se recomienda. Seguiremos practicando las herramientas de dibujo (compás y reglas)

Para disponer de espacio suficiente, se prolonga el lado del ángulo A que acabamos de trasladar.

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3. En el otro extremo del lado b, se traza un arco con el lado a.

Recordad que un lado es opuesto al ángulo del mismo nombre. El lado a, será el opuesto al ángulo A (ver Denominación de los lados-ángulos de un triángulo).

Podemos apreciar una cosa curiosa, que ese arco, corta a la prolongación del ángulo A en dos puntos, el punto 1 y el punto 2. Esto quiere decir, que con los datos que nos han dado, puedo construir dos triángulos.

Pero no me piden un triángulo cualquiera. De las dos soluciones que puedo construir, tengo que elegir la que determine un triángulo obtusángulo.

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4. Según esto, el triángulo obtusángulo, que es el que tiene un ángulo obtuso, es el formado por el vértice correspondiente al punto 2.

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Si por el contrario, me hubieran pedido un triángulo acutángulo (los tres ángulos del triángulo son agudos), hubiera tenido que elegir la solución formada con el vértice del punto 1.

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Para un triángulo acutángulo la solución sería como la imagen de la izquierda. 

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NOTA.

Con esto deducimos que:

• Si el lado a, como en el caso que nos piden, es mayor a la altura del ángulo C, tenemos dos soluciones, con lo que habrá que elegir la que mejor defina el enunciado (triángulo acutángulo o triángulo obtusángulo).
• Si el lado a es igual a la altura del ángulo C, el triángulo solamente tiene una solución, y el triángulo resultante sería un triángulo rectángulo (un ángulo recto).
• Mientras que si el lado a es menor a la altura, el lado no llegaría a cortar al otro lado del triángulo y por tanto no se podría construir el triángulo. No habrá solución.

5. Así que, según visto el punto anterior, el triángulo obtusángulo que nos piden es el construye con el vértice en el punto 2. SOLUCIÓN.
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Triángulo, con lado y ángulos adyacentes

En este caso nos piden que construyamos un triángulo, teniendo como datos: un lado y los ángulos adyacentes. La complejidad reside en saber qué son ángulos adyacentes.

Ángulos adyacentes son los que tienen un vértice y un lado comun. En nuestro caso tenemos que el lado b, es el lado común a los dos ángulos A y C. A partir de este dato, el ejercicio es sencillo.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos.

Los datos con los que partimos son:

• El lado b, y
• Los ángulos adyacentes, ángulo A y ángulo C.

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1. En un lugar cualquiera, se traza una línea r y se marca un punto donde vamos a trabajar.

A partir de este punto y utilizando el compás, se lleva el lado b sobre la recta r que habíamos marcado anteriormente.

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2. En los extremos del segmento b, realizado en la operación anterior, se colocan el vértice A y el vértice B.

Para realizar esta operación, se debe conocer la operación de trasladar o transportar un ángulo. Lo podéis encontar en el apartado: 2.1.1. Transladar o transportar un ángulo.

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3. De la misma manera, se lleva el ángulo C al otro extremo del segmento b.

Prolongando los lados del ángulo A y del ángulo C, se cortan en el vértice B.

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4. Uniendo los tres vértices: A, B y C, obtenemos el triángulo construido con el lado b y los ángulos adyacentes A y C.

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5. Se repasan los tres lados a, b y c, uniendo los tres vértices: A, B y C, y tenemos el triángulo que nos pedían. SOLUCIÓN.

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Triángulo equilátero, conociendo la altura

Como ya se ha dicho en otra ocasión, para construir un triángulo necesitamos tres datos. En el caso del triángulo Equilátero, dado que los tres lados son iguales y los tres ángulos, también, tan solo necesitaremos un dato.

En un ejercicio anterior, resolvimos la construcción de un triángulo equilátero conociendo el lado. En esta ocasión, el dato que me dan es la altura de ese triángulo equilátero.

Este ejercicio se puede realizar de varias formas, pero para resolverlo utilizaremos la escuadra y el cartabón.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos.

Los datos con los que partimos son:

• La altura h del triángulo equilátero.

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1. Seleccionamos una línea r donde vamos a construir el triángulo equilátero que nos piden.

Utilizando correctamente la escuadra y el cartabón, trazamos una línea que sea perpendicular a la recta r.

Recordamos que la altura debe ser perpendicular al lado opuesto del vértice al que pertenece.

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2. Pinchamos con el compás en el punto de intersección de la recta perpendicular con la recta r, y con una abertura equivalente a la altura (radio h), trazamos un arco hasta cortar a la perpendicular.

Obtenemos el vértice superior, punto A, con la altura h colocada en su lugar.

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3. Utilizando nuevamente la escuadra y el cartabón, las colocamos de tal forma que la escuadra sirva de apoyo, mientras que el cartabón será el que se deslice.

Dado que uno de los ángulos del cartabón tiene 60º, tendremos que disponer esta herramienta según aparece en la figura, con el ángulo de 60º a la izquierda de la altura.

En esta posición, trazamos unos de los lados del triángulo equilátero.

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4. Al realizar la operación anterior, conseguimos el lado del triángulo y el vértice B.

Nota. Para la siguiente operación, se podría utilizar la escuadra y cartabón de la misma forma que se acaba de hacer, tan solo habría que dar vuelta al cartabón, sin mover la escuadra, y situar el ángulo de 60º a la derecha de la altura. Pero haremos lo siguiente…

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5. Pinchamos con el compás en el punto de intersección de la altura con la recta r, y con una abertura del compás hasta el punto B, trazamos un arco y obtenemos el vértice que nos falta: el punto C.

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Recordando. Esto, de forma general, únicamente se cumple por ser un triángulo equilátero. Dado que la altura es perpendicular al lado opuesto, lo cortará en su punto medio.

6. Se repasan los tres lados, uniendo los tres vértices: A, B y C, y tenemos el triángulo que nos pedían. SOLUCIÓN.

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Equivalencia de un triángulo con un cuadrado

Según lo comentado en el tema 9.2. Equivalencias, hablamos de dos figuras equivalentes cuando tienen el mismo área. De la misma forma, dos cuerpos serán equivalentes cuando tengan el mismo volumen.

En este caso, se trata de construir un cuadrado que sea equivalente a un triángulo, es decir que ambos tengan el mismo área.

El dato con el que partimos es:

• El triángulo rectángulo de la figura, definido por sus lados y su ángulo recto. Tenemos que construir un cuadrado que sea equivalente.

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1. Se traza la mediatriz de la altura del vértice C. Dado que se trata de un triángulo rectángulo, se trata de trazar la mediatriz en el lado AC.

Se obtien el punto M, punto medio del lado AC.

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2. Haciendo centro con el compás en el punto A (pinchando con el compás en el punto A) y una abertura de AM (radio), se traza un arco hasta la prolongoación del segmento AB. Obtenemos el punto D.

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3. Nuevamente trazamos otra mediatriz. En este paso, trazamos la mediatriz del segmento DB.

Obtenemos el punto N, punto medio del segmento DB.

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4. Aprovechando el punto medio N, y pinchando con el compás en este punto, trazamos un arco (de radio ND) que salga del punto D y llegue al punto B.

Este arco corta al lado AC en el punto E.

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5. El segmento AE (obtenido en la operación anterior) es el lado del cuadrado que será equivalente con el triángulo dado.

Se contruye el cuadrado conociendo el lado AE. SOLUCIÓN.

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6. El triángulo ABC y cuadrado AFGE tienen el mismo área, son equivalentes. SOLUCIÓN.

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Equivalencia de un triángulo con un rectángulo

Según lo comentado en el tema 9.2. Equivalencias, hablamos de dos figuras equivalentes cuando tienen el mismo área. De la misma forma, dos cuerpos serán equivalentes cuando tengan el mismo volumen.

En este caso, se trata de construir un rectángulo que sea equivalente a un triángulo, es decir que tenga el mismo área.

El dato con el que partimos es:

• El triángulo escaleno acutángulo, definido por sus lados y tenemos que construir un rectángulo que sea equivalente.

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1. Se traza la altura del vértice C, o bien, la perpendicular del punto C al segmento AB, cortando a este segmento en el punto H.

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2. Sobre el segmento creado CH, se traza la mediatriz consiguiendo el punto medio M.

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3. Desde los vértices A y B, se trazan rectas perpendiculares al segmento AB.

Estas rectas cortan a la mediatriz en los puntos D y E, formando los cuatro vértices del rectángulo.

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4. Uniendo los cuatro vértices: A, B, D y E, obtenemos el rectángulo que es equivalente al triángulo a, b y c.

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Comprobación:

Si nos fijamos, podemos ver que el triángulo CME’, es igual al triángulo E’BE. De la misma manera el triángulo CMD’, es igual al triángulo D’DA. Esto significa que el área del triángulo es igual (EQUIVALENTE) al área del rectángulo.

5. El triángulo ABC y rectángulo ABED tienen el mismo área, son equivalentes. SOLUCIÓN.

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Triángulo isósceles a partir de sus lados

Como ya se ha dicho en otra ocasión, para construir un triángulo necesitamos tres datos. En el caso del triángulo Isósceles, dado que dos lados son iguales y el tercero, distinto, necesitaremos tan solo dos datos (el tercero viene implícito).

La forma de resolver este ejercicio es la misma que se utilizó para el ejercicio: Construir un triángulo a partir de los tres lados, aunque con distintos datos.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos.

Los datos con los que partimos son:

• Los lados a, b. Lados iguales del triángulo isósceles, y
• Lado c. Lado desigual.

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1. Seleccionamos uno de los lados para la primera operación, por ejemplo el lado c, lado desigual.

Colocamos este lado en el lugar donde vayamos a trabajar. Este lugar me lo pueden dar determinado o bien puede ser un lugar que libremente establezcamos nosotros.

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En este caso, trazamos una recta r cualquiera y sobre un punto A cualquiera, se traza un arco con la medida del lado c.

Queda situado el lado c con sus vértices A y B.

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2. Desde el vértice B y con la medida del lado a, se traza un arco.

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3. Se realiza la misma operación trazada anterioremente pero, en este caso, desde el vértice A y con el lado b (que es igual al lado a).

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Los dos arcos se cortan en el vértice C, formando de esta forma el triángulo isósceles.

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4. Uniendo los tres vértices: A, B y C, obtenemos el triángulo construido con los tres lados a, b y c.

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5. Se repasan los tres lados a, b y c, uniendo los tres vértices: A, B y C, y tenemos el triángulo que nos pedían. SOLUCIÓN.

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Triángulo a partir de los tres lados

Necesitamos tres datos para construir un triángulo y el ejercicio más básico sería el de construir un triángulo conociendo sus tres lados.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos.

Los datos con los que partimos son:

• Los tres lados (a, b y c) de un triángulo cualquiera y tenemos que realizar su construcción.

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1. Seleccionamos uno de los lados para la primera operación, por ejemplo el lado a del triángulo (elegido por ser el más grande).

Colocamos este lado (lado a determinado por los vértices C y B) en el lugar donde vayamos a trabajar. Este lugar me lo pueden dar determinado o bien puede ser un lugar que libremente establezcamos nosotros.

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2. Una vez situado el lado a, cogemos el lado b y lo trasladamos a partir del vértice C. Es importante saber cómo es la disposición de los lados del triángulo.

Para realizar esta operación, utilizando el compás y con una abertura (radio) equivalente al tamaño del lado b, se traza un arco desde el vértice C.

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3. Se realiza la misma operación trazada anterioremente pero, en este caso, con el lado c y pinchando con el compás en el vértice B.

Los dos arcos se cortan en el vértice A.

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4. Uniendo los tres vértices: A, B y C, obtenemos el triángulo construido con los tres lados a, b y c.

5. Se repasan los tres lados a, b y c, uniendo los tres vértices: A, B y C, y tenemos el triángulo que nos pedían. SOLUCIÓN.

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