Construcción de un triángulo equilátero, conociendo su perímetro

Según se explicó en el tema 3.1. Triángulos, el triángulo equilatero es aquel que tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos tienen el mismo valor.

Esto ya lo vimos en las construcciones:

• Triángulo equilátero, conociendo el lado,
• Triángulo equilátero mediante la utilización de las reglas, y
• Triángulo equilátero, conociendo la altura.

En este ejercicio, se va a construir un triángulo equilátero teniendo como dato el perímetro, definido por el segmento AA.

Recordando

El perímetro de una fígura es la suma de la longitud de todos sus lados. El perimétro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.

1. Dado que sabemos que el triángulo equilátero tienen tres lados iguales, tendremos que dividir el perímetro en tres partes iguales.

Para esta operación tenemos el método: Dividir un segmento en un número de partes iguales. En esta ocasión, utilizaremos un procedimiento parecido.

Desde el punto A (izquierda), trazamos una línea cualquiera (hacia arriba porque, por las condiciones del dibujo, no se puede realizar hacia abajo).

2. En la línea trazada, tomamos tres medidas. En vez de la utilización del compás, emplearemos una regla. Y, por ejemplo, trazamos una marca cada 20 milímetro.

Esta medida podría haber sido cualquiera..

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3. Desde la tercera marca, se une con el extremo A (derecha) del segmento AA.

Por las otras dos marcas, se trazaran paralelas a la anterior.

Se obtienen los puntos C y B, que son las divisiones en el pérímetro AA.

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4. Ya hemos conseguido encontrar el valor del lado del equilátero.

Pinchando con el compás en el punto C, se traza un arco con un radio R_CA.

 

 

5. De la misma forma, pinchando con el compás en el punto B, se traza un arco con un radio R_BA.

 

 

6. Los dos arcos trazados anteriormente, se cortan en un punto A, que será el vértice superior del triángulo equilátero.

Juanto a los vértices C y B, tenemos todos los datos para completar el triángulo equilátero solicitado a partir del perímetro.

7. Se repasan los tres lados, uniendo los tres vértices: A, B y C, y tenemos el triángulo equilátero que nos pedían.

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Eneágono inscrito

En otra ocasión vimos la construcción de un eneágono, teniendo como dato el lado.

En este caso construiremos un eneágono inscrito en una circunferencia. Lógicamente, el dato que necesitamos es el radio de la circunferencia donde se inscribe.

Recordamos

Un eneágono es una superficie cerrada y plana, formada por la intersección de 9 líneas (llamados lados del eneágono), que se cortan en 9 vértices (ángulos del eneágono).

Un eneágono regular es aquel formado por lados de la misma longitud y ángulos del mismo valor.

Veamos cómo se construye un eneágono regular inscrito en una circunferencia, cuando nos dan como dato el radio de la circunferencia.

1. De la misma forma que en otras ocasiones, en un punto cualquiera (también podría venir determinado), trazamos los dos ejes.

En la intersección de los dos ejes, situamos el centro O y, con el radio AB (R_AB), trazamos la circunferencia donde se inscribirá el eneágono regular.

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2. La circunferencia corta a los ejes en los puntos C y D.

Haciendo centro en C, trazamos un arco con el radio AB (R_AB). Corta a la circunferencia en el punto E.

De la misma forma, se traza un arco desde el punto D, con el radio AB (R_AB). Corta a la circunferencia en el punto F.
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3. Haciendo centro en C, trazamos un arco con el radio CF. corta al eje horizontal en el punto G.

De la misma forma, se traza un arco desde el punto D, con el radio DE. Corta al eje horizontal en el mismo punto G.

NOTA: El punto obtenido por la intersección de los dos arcos (punto G), debe coincidir sobre el eje horizontal. Ojo, este punto se convierte en un punto de control.

4. Pinchando con el compás en el punto G, se traza un arco con el radio GC de tal forma que pase por los puntos C y D.

Este arco corta el eje horizontal en el punto H. El eje horizontal, también corta a la circunferencia en el punto I.

La distancia que obtenemos entre el punto H y el punto I será el lado que construirá el eneágono inscrito en la circunferencia.

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5. Con una abertura del compás equivalente a radio IH, se trazan los nueve arcos en la circunferencia. Obtendremos los nueve vértices del eneágono regular inscrito.

Como en otras ocasiones, debemos aconsejar el trazar los arcos desde un lado del eje vértical (lado izquierdo: vértices 2, 3, 4, y 5) y desde el otro (lado derecho: vértices 9, 8, 7 y 6). De esta forma, estaremos repatartiendo el posible error.

NOTA: Si el punto 1, lo hemos iniciado en el punto D, vértice superior del eneágono, el lado 5-6, base del eneágono, deberá ser paralelo al eje horizontal.

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6. Se unen los nueve puntos obtenidos en la operación anterior y nos aparece el eneágono regular, inscrito en la circunferencia que nos pedían.

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7. Se repasa el trazado de los nueve vétices y queda finalizada la construcción del eneágono regular inscrito en la circunferencia con radio dado. Solución.
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Resumen en imágenes

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Triángulo rectángulo a partir de la hipotenusa y un cateto

En otra ocasión vimos cómo construir un triángulo rectángulo a partir de los dos catetos. El trabajo de ahora es construir un triángulo rectángulo pero con la hipotenusa y uno de los catetos.

Como ya se ha dicho en otra ocasión, para construir un triángulo necesitamos tres datos.

En el caso del triángulo Rectángulo, sabemos que uno de los ángulos es un ángulo recto, de 90º, que unido a los otros dos datos que me proporciona el enunciado del ejercicio, tengo los elementos necesarios para poder hacer la construcción.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos y en el apartado 3.1.2. Trazados de triángulos.

Buscamos el triángulo de la figura de arriba, y los datos con los que partimos son:

• La hipotenusa b del triángulo rectángulo
• y el cateto c.

1. Seleccionamos una línea r donde vamos a construir el triángulo rectángulo que nos piden.

Elegimos un punto cualquiera de esa recta. A partir de este punto, y ayudados del compás, llevamos la medida de la hipotenusa b.

Conseguimos situar la hipotenusa b sobre la recta r.

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2. Necesitamos hayar el punto medio de la hipotenusa b, así que trazamos le mediatriz.

Obtenemos el punto M, que como se ha dicho, es el punto medio de la hipotenusa.

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3. Haciendo centro en el punto medio (punto M), es decir, pinchando con el compás en el punto M, trazamos un arco de circunferencia que pase por los dos extremos de la circunferencia.

Cualquier punto de esa circunferencia que unamos con los dos extremos de la hipotenusa, me dará un triángulo rectángulo. Es una variación de arco capaz.

Pero no nos vale cualquier punto, ya que uno de los catetos, el cateto c, tiene un valor determinado.

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4. Utilizando el compás, cogemos la medida del cateto c y la trasladamos a uno de los extremos de la hipotenusa b, por ejemplo al izquierdo.

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5. Según lo dicho anteriormente, si unimos este punto con los dos extremos de  la hipotenusa b, obtenemos un triángulo rectángulo.

El ángulo recto se encuentra en la línea curva de la semicircunferencia.

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6. Se repasan los tres lados, y tenemos el triángulo que nos pedían. SOLUCIÓN.

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Estrella de cuatro puntas en base octogonal

Nos hemos encontrado con el suelo de la figura de abajo. Vemos que tiene una estrella de cuatro puntas, pero si nos fijamos un poco más veremos que está inscrita en un octógono. ¿Cómo podemos hacer la estrella de cuatro puntas?

En trabajos anteriores hemos visto la construcción de un octógono, teniendo como dato el lado y también la construcción de un octógono inscrito en una circunferencia.

Pero, para reproducir la estrella de la imagen, tendré que hacer las siguientes operaciones.

1. Utilizaremos la foto y aislaremos el octógono para trabajar mejor. Numeramos los vértices para que las operaciones sean más fáciles de entender.

2. En el apartado 3.5 Póligonos estrellados, vimos cómo se hacían las estrellas a partir de los distintos polígonos, pero en este caso utilizaremos el modelo construido en la imagen para reproducir la estrella.

Unimos el vértice 1, con los vértices 4 y 6. De la misma manera, unimos el vértice 2, con el 5 y el 7. Seguimos este procedimiento hasta completar todos los vértices. Obtenemos la imagen siguiente:

3. Este trazado se debe hacer con línea fina (lápiz 2H), aunque para verlo mejor, se ha utilizado una línea más gruesa.

Vemos que aparece la estrella que buscamos, aunque queda poco clara entre todos los vértices, así que la «limpiamos» para quedarnos con la imagen que nos interesa.

Los vértices 2, 4, 6 y 8, los trazamos en fino, en cambio los vértices 1, 3, 5 y 7 los repasamos con un trazo más grueso (lápiz 2B), para darle el aspecto de resultado final. Tenemos la estrella que buscábamos.

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4. Aprobechando el octógono inscrito que hicimos en un trabajo anterior, replicamos las operaciones que hemos realizado arriba.

Unimos el vértice 1, con el 4 y con el 6. De la misma manera, univos el vértice 2, con el 5 y el 7… Seguimos este procedimiento hasta completar todos los vértices.

Esta operación se deberá realizar con un trazo fino del lápiz (2H), para no emborronar el dibujo.

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5. De la misma forma, repetimos la operación 3. «Limpiamos» los vértices que no nos interesan y repasamos con un trazo grueso del lapiz (2B), los vértices que queremos conservar.

Un octógono proporciona una estrella de 8 puntas, como necesitamos la estrella de 4, tendremos que utilizar la mitad. Seleccionaremos los vértices alternos. Los vértices 1, 3, 5 y 7, servirán para dar con la estrella de cuatro puntas que buscábamos.

6. El trabajo final, quedará como la imagen de abajo. SOLUCIÓN.

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Octógono inscrito

En otra ocasión vimos la construcción de un octógono, teniendo como dato el lado.

En este caso construiremos un octógono inscrito en una circunferencia. Lógicamente, el dato que necesitamos es el radio de la circunferencia donde se inscribe.

Recordamos

Un octógono es una superficie cerrada y plana, formada por la intersección de 8 líneas (llamados lados del octógono), que se cortan en 8 vértices (ángulos del octógono).

Un octógono regular es aquel formado por lados de la misma longitud y ángulos del mismo valor.

Veamos como se construye un Octógono regular inscrito en una circunferencia, cuando nos dan como dato el radio de la circunferencia.

1. De la misma forma que en otras ocasiones, en un punto cualquiera (también podría venir determinado), trazamos los dos ejes.

En la intersección de los dos ejes, situamos el centro y, con el radio AB (R_AB), trazamos la circunferencia donde se inscribirá el octógono regular.

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2. La circunferencia corta a los ejes en cuatro puntos (1, 3, 5 y 7).

Necesitaremos hallar otros cuatro puntos que estén situados en los puntos medios de los cuadrantes.
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3. Trazamos la bisectriz del primer cuadrante (1-7) y del segundo cuadrante (1-3).

Prolongamos las bisectrices para que corten a la circunferencia.

Las bisectrices prolongadas, cortan a la circunferencia en otros 4 puntos (2, 4, 6 y 8). Junto a los puntos anteriores, conseguimos tener los 8 puntos que definen el octógono inscrito en la circunferencia.

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4. Con los 8 puntos marcados (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8), trazamos suavemente el octógono inscrito.

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5. Se repasa el trazado anterior y queda finalizada la construcción de un  octógono regular inscrito en la circunferencia con radio dado. Solución.

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Resumen en imágenes

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Triángulo rectángulo, conociendo dos catetos

Como ya se ha dicho en otra ocasión, para construir un triángulo necesitamos tres datos. En el caso del triángulo Rectángulo, sabemos que uno de los ángulos es un ángulo recto, es decir, dos de sus lados (catetos) son perpendiculares entre si. De esta forma, para construir un triángulo rectángulo, tan solo necesitaremos dos datos.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos.

Los datos con los que partimos son:

• Cateto mayor, lado b  del triángulo rectángulo.
• Cateto menor, lado c.

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1. Seleccionamos una línea r cualquiera, donde vamos a construir el triángulo rectángulo que nos piden.

Elegimos un punto cualquiera de esa recta (primer punto del triángulo), y pinchando con el compás sobre este punto, llevamos la medida del cateto mayor (lado b).

Hemos situado el lado b sobre la recta r, y hemos conseguido dos vértices del triángulo.

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2. Sobre uno de los extremos del lado b, por ejemplo el de la izquierda, trazamos una recta s perpendicular a la recta r.

NOTA

Mientras en el planteamiento del trabajo no nos obliguen a nada, podré utilizar el método que quiera. Deberé elegir entre hacer una utilización correcta de la escuadra y el cartabón, o bien, utilizando el compás.

En este ejercicio, realizaremos la perpendicular utilizando el compás.

3. Con la medida del compás del lado c (radio c), trazamos un arco a partir del lado b, sobre la recta s.

Hemos situado el lado c sobre la línea s, que es perpendicular al lado b. De esta forma, los lados b y c son perpendiculares.

También hemos conseguido el tercer vértice del triángulo.

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4. Juntando los tres vértices, tendremos el triángulo rectángulo que nos piden.

 

 

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5. Se repasan los tres lados, uniendo los tres vértices. SOLUCIÓN.

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Heptágono inscrito

En otra ocasión vimos la construcción de un heptágono, teniendo como dato el lado.

Ahora, en este caso, tenemos que construir un heptágono que está inscrito en una circunferencia y, por este motivo, el dato que nos proporcionan para resolver el ejercicio es el radio de la circunferencia donde se inscribe.

Recordamos

Un hexágono es una superficie cerrada y plana, formada por la intersección de 6 líneas (llamados lados del heptágono), que se cortan en 7 vértices (ángulos del heptágono).

Un heptágono regular es aquel formado por lados de la misma longitud y ángulos del mismo valor.

Veamos como se construye un Heptágono regular inscrito en una circunferencia, cuando nos dan como dato el radio de la circunferencia.

1. De la misma forma que en otras ocasiones, en un punto cualquiera (también podría venir determinado), trazamos los dos ejes.

A partir de la intersección de los dos ejes, situamos el centro y, con el radio AB trazamos la circunferencia donde se inscribirá el heptágono.

Marcamos el punto D, que está situado donde el eje horizontal corta a la circunferencia.

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2. Pinchando con el compás en el punto D y con el radio AB, se traza un arco, que lógicamente deberá pasar por el centro de la circunferencia (punto O).

Este arco corta a la circunferencia en los puntos E y F.
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3. Mediante una línea recta, unimos los puntos E y F. El punto G (situado sobre el eje horizontal) es el punto medio del segmento EF.

La distancia existente entre el punto G y el punto E, será el radio GE que se convertirá en el lado del heptágono inscrito.

Fijamos el punto 1, que se situa donde el eje vertical corta a la circunferencia.

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4. A partir del punto 1, trazamos un arco con el radio GE.

Se obtiene los puntos 2 y 7 del heptágono.

Siguiendo los dos puntos trazados, utilizando el compás con el radio GE, trazaremos el resto de los puntos.

Nota

Si se ha cometido un pequeño error en el cálculo del radio, cuando se trazan arcos, uno a continuación de otro, el error final será muy grande.

Para minimizar este problema, llevaremos los puntos 3 y 4, a partir del punto 2. Mientras que los puntos 6 y 5, los llevaremos desde el punto 7.

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5. Con todos los puntos marcados (1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7), trazamos suavemente el heptágono inscrito.

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6. Se repasa el trazado anterior y queda finalizada la construcción de un  heptágono regular inscrito en la circunferencia con radio dado. Solución.

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Resumen en imágenes

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Hexágono inscrito

En otra ocasión vimos la construcción de un hexágono, teniendo como dato el lado. Ahora, en este caso, tenemos que construir un hexágono que está inscrito en una circunferencia y, por este motivo, el dato que nos proporcionan para resolver el ejercicio es el radio de la circunferencia donde se inscribe.

Recordamos

Un hexágono es una superficie cerrada y plana, formada por la intersección de 6 líneas (llamados lados del hexágono), que se cortan en 6 vértices (ángulos del hexágono).

Un hexágono regular es aquel formado por lados de la misma longitud y ángulos del mismo valor.

Si nos fijamos, vemos que las dos construcciones (la que vimos a partir del lado y la que vamos a ver ahora) tienen las mismas operaciones, se trata del mismo proceso de construcción. Pero…

• En el primer caso, tomamos el lado como si fuese el radio y eso acarrea un pequeño error. Según la fórmula de la longitud de la circunferencia: 2Πr, vemos que al multiplicar 2Π, tenemos 6,28. Al dividir la circunferencia mediante el lado en 6 partes, estamos cometiendo un error debido a eso 0,28.
• En el caso que veremos a continuación, este error no se produce ya que el dato es el radio de la propia circunferencia donde lo inscribimos.

Veamos como se construye un Hexágono regular inscrito en una circunferencia, cuando nos dan como dato el radio de la circunferencia.

1. Aunque las operaciones sean las mismas, el dato con el que vamos a trabajar no es el lado, sino el radio de la circunferencia.

En un punto cualquiera (también podría venir determinado), trazamos los dos ejes. A partir de la intersección de los dos ejes, trazamos la circunferencia.

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2. Donde uno de los ejes, por ejemplo el eje horizontal (también podría ser el vertical), corta a la circunferencia, trazamos dos arcos con el radio AB.

Un arco a la izquierda y otro a la derecha.

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3. En la operación anterior, se ha obtenido 4 puntos mediantes el trazado de los dos arcos que, sumados a los dos proporcionados por eje horizontal, conforman los 6 puntos necesarios para hacer el Hexágono.

4. Uniendo los 6 puntos obtenemos el Hexágono regular inscrito en la circunferencia de radio AB.

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Igualdad por radiación

Como se comenta en el tema 9.1 Igualdad, se considera que dos figuras planas son IGUALES, cuando sus lados y ángulos están dispuestos de tal forma que, superponiendo una figura sobre la otra, ambas coinciden.

Son varios los procedimientos existentes para construir figuras planas iguales a otras. En este caso veremos el método por Radiación.

Los datos con los que partimos son:

• Tenemos una figura plana (pentágono irregular – imagen adjunta) que tenemos que construir en otro lugar. Podemos suponer que la existente se ha estropeado y hay que reemplazarla por otra pieza igual.

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OPERACIONES

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1. A partir de la figura original, elegimos un punto en el interior de ella. Ppuede ser cualquier punto. Elegimos el punto O.

Desde este punto O, trazamos líneas a todos los vértices de la figura. Para que las operaciones sean más fáciles de describir, nombramos todos los vértices (A, B, C, D y E)

2. Tomando el punto O como centro, se traza una circunferencia de tal forma que corte a todas las líneas trazadas anteriormente. El radio de esta circunferencia puede ser cualquiera, pero si excesivamente pequeño, es más fácil que nos aparezcan errores.

Nombramos los todos los puntos de corte (a, b, c, d y e).

Además, elegimos un punto O’, donde vamos a construir la figura igual.

 

3. Tomando el punto O’, trazamos una circunferencia igual a la anterior. En este caso, el radio no puede ser cualquiera sino que tiene que ser el mismo que se ha utilizado en la operación anterior.

En la circunferencia resultante, se sitúa el punto a’, como punto igual al punto a de la figura original.

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4. Utilizando el compás, tomamos la distancia existente entre el punto a y el punto b. Trasladamos esa distancia al punto a’ de la nueva figura.

Obtenemos el punto b’.

De la misma forma, se llevan el resto de los puntos a la nueva figura que estamos construyendo.

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5. Desde el punto O’ de la figura nueva, se trazan líneas que pasen por todos los puntos (a’, b’, c’, d’ y e’) que acabamos de construir.

Los vértices nuevos, deberán estar sobre estas líneas.

Este método recibe el nombre de esta construcción, esto es, método por radiación.

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6. Utilizando el compás, cogemos la medida del vértice A, a partir del centro O, para trasladarla a la nueva figura. También podemos decir que, con un radio OA, trazamos un arco a partir del centro O’, para determinar la posición del vértice A’.

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Se hace lo mismo con el resto de los vértices. Se obtienen todos los vértices (A’, B’, C’, D’ y E’)

7. Uniendo todos los vértices construidos en la operación anterior, tenemos la figura igual a la original. SOLUCCIÓN.

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Resumen en imágenes

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Triángulo obtusángulo a partir de dos lados y un ángulo

Como ya se ha dicho en otras ocasiones, para construir un triángulo necesitamos tres datos. En este caso nos dan dos lados y el ángulo correspondiente a uno de esos ángulos, es decir el lado b, el lado a y el ángulo A, y nos piden construir un triángulo obtusángulo.

Recordando. Triángulo Obtusángulo es aquel que tiene un ángulo obtuso. Ángulo Obtuso es aquel que tiene un ángulo mayor de 90º.

La forma de resolver este ejercicio es la misma que se ha realizado en otro tipo de trazados de triángulos, aunque, dado que nos piden que el triángulo sea obtusángulo, tiene una particularidad. La veremos.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos.

Los datos con los que partimos son:

• Los lados a y b,
• Ángulo A, y
• Se trata de un triángulo obtusángulo.

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1. Como en otras ocasiones, colocamos una recta r cualquiera y seleccionamos un punto donde empezar a trabajar. Si me dieran el punto a partir del cual tengo que hacer la construcción, lógicamente no debería seleccionar ni la recta ni el punto.

Sobre ese punto y en esa recta r, utilizando el compás, llevamos el lado b.

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2. Trasladamos el ángulo A a un extremo del lado b, que hemos trazado en la operación anterior.

Aunque se podría utilizar el transportador de ángulos, en general no se recomienda. Seguiremos practicando las herramientas de dibujo (compás y reglas)

Para disponer de espacio suficiente, se prolonga el lado del ángulo A que acabamos de trasladar.

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3. En el otro extremo del lado b, se traza un arco con el lado a.

Recordad que un lado es opuesto al ángulo del mismo nombre. El lado a, será el opuesto al ángulo A (ver Denominación de los lados-ángulos de un triángulo).

Podemos apreciar una cosa curiosa, que ese arco, corta a la prolongación del ángulo A en dos puntos, el punto 1 y el punto 2. Esto quiere decir, que con los datos que nos han dado, puedo construir dos triángulos.

Pero no me piden un triángulo cualquiera. De las dos soluciones que puedo construir, tengo que elegir la que determine un triángulo obtusángulo.

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4. Según esto, el triángulo obtusángulo, que es el que tiene un ángulo obtuso, es el formado por el vértice correspondiente al punto 2.

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Si por el contrario, me hubieran pedido un triángulo acutángulo (los tres ángulos del triángulo son agudos), hubiera tenido que elegir la solución formada con el vértice del punto 1.

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Para un triángulo acutángulo la solución sería como la imagen de la izquierda. 

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NOTA.

Con esto deducimos que:

• Si el lado a, como en el caso que nos piden, es mayor a la altura del ángulo C, tenemos dos soluciones, con lo que habrá que elegir la que mejor defina el enunciado (triángulo acutángulo o triángulo obtusángulo).
• Si el lado a es igual a la altura del ángulo C, el triángulo solamente tiene una solución, y el triángulo resultante sería un triángulo rectángulo (un ángulo recto).
• Mientras que si el lado a es menor a la altura, el lado no llegaría a cortar al otro lado del triángulo y por tanto no se podría construir el triángulo. No habrá solución.

5. Así que, según visto el punto anterior, el triángulo obtusángulo que nos piden es el construye con el vértice en el punto 2. SOLUCIÓN.
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