Triángulo a partir de los tres lados

Necesitamos tres datos para construir un triángulo y el ejercicio más básico sería el de construir un triángulo conociendo sus tres lados.

Podéis encontrar más referencias a los triángulos en el tema 3.1. Triángulos.

Los datos con los que partimos son:

• Los tres lados (a, b y c) de un triángulo cualquiera y tenemos que realizar su construcción.

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1. Seleccionamos uno de los lados para la primera operación, por ejemplo el lado a del triángulo (elegido por ser el más grande).

Colocamos este lado (lado a determinado por los vértices C y B) en el lugar donde vayamos a trabajar. Este lugar me lo pueden dar determinado o bien puede ser un lugar que libremente establezcamos nosotros.

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2. Una vez situado el lado a, cogemos el lado b y lo trasladamos a partir del vértice C. Es importante saber cómo es la disposición de los lados del triángulo.

Para realizar esta operación, utilizando el compás y con una abertura (radio) equivalente al tamaño del lado b, se traza un arco desde el vértice C.

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3. Se realiza la misma operación trazada anterioremente pero, en este caso, con el lado c y pinchando con el compás en el vértice B.

Los dos arcos se cortan en el vértice A.

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4. Uniendo los tres vértices: A, B y C, obtenemos el triángulo construido con los tres lados a, b y c.

5. Se repasan los tres lados a, b y c, uniendo los tres vértices: A, B y C, y tenemos el triángulo que nos pedían. SOLUCIÓN.

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Los números del 2013

Después de finalizado el año 2013 entre familia, amigos, comidas,… y fiestas, queremos compartir con todos vosotros el Informe Anual del blog. Este informe esta creado por los servicios estadísticos de WordPress. Esperamos que el informe sea de vuestro interés.

Y, aprovechando la ocasión, queremos desearos todo lo mejor para este año 2014, que se cumplan todos vuestros deseos, que todos vuestros proyectos se materialicen y, en definitiva, que seáis más felices que el año pasado.

Números emocionantes

En esta ocasión, los números de este informe son realmente emocionantes: cerca de 600.000 visitas, 48 artículos, etc… Podéis ver los datos a continuación.

Atracciones en 2013

Entre los espacios con mayor número de visitas, nos encontramos con un artículo:

• 3.2. Cuadriláteros (58.943 visitas durante este año 2.013). El total de visitas desde el inicio del blog, han sido: 348.837
• 3.4. Polígonos inscritos (49.866 visitas). El total de visitas: 118,946
• 1.2. Paralelas y perpendiculares (42.057 visitas). El total de visitas: 59,369

La estadística: visitas / meses

Nos encontráis a través de…

También es importante saber cómo nos encontráis.

Origen de las visitas

Los datos de este apartado han sido recogidos únicamente, durante todo el año 2013.

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Ejercicio práctico. Enlaces y tangentes

Tenemos la pieza de la figura y tenemos que saber cómo solucionar las esquinas «redondeadas». Es un ejemplo que se repite con asiduidad, por lo que es conveniente dominarlo adecuadamente.

Para poder dibujar estas esquinas, necesitamos saber cómo trazar tangencias y también cómo enlazar las estas líneas tangentes.

Referencias:

Según aparece en el tema 6. Enlaces, un «enlace» es la unión armónica de dos líneas ya sean rectas o curvas.

Como se comenta en el tema 7. Tangencias, «recta o curva tangente a otra, es aquella que la toca sin cortarla».

Aunque no vamos a resolver la construcción de esta pieza (lo haremos en un ejemplo posterior), en este ejercicio analizaremos cuales son los pasos a seguir para construir las aristas superior e inferior de la pieza y su enlace con las esquinas redondeadas.

NOTA. En la imagen de la derecha, vemos que se trata de resolver el ejercicio descrito en Recta tangente a una circunferencia. La tangente inferior corresponderá a la arista inferior de la pieza y la tangente superior, a la arista superior.

Los datos con los que partimos son:

• Pieza original. Partimos de la pieza superior y, en principio, tendremos las medidas que definen la pieza o se podrán calcular de alguna forma.

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1. Más arriba se comenta que no vamos a resulver la imagen propuesta, por lo que no atenderemos a las medidas. Pero sí nos fijaremos como se hacen los enlaces de las esquinas.

La pieza se puede simplificar por la imagen de la izquierda: dos circunferencias definidas por sus centros Oc y un punto P exterior a ellas.

Tenemos que hallar las rectas tangentes desde el punto P a las dos circunferencias. Ejercicio descrito en Recta tangente a una circunferencia.
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2. Se unen los puntos P y Oc de las dos circunferencias y se halla el punto medio de ambos segmentos, utilizando la MEDIATRIZ.

  

3. Haciendo centro en OT (punto medio de los segmentos anteriores), se traza una circunferencia que pase por P y por Oc (centro de la circunferencia). Para no confundirnos, primero haremos con la circunferencia superior y luego con la inferior. Estas circunferencias cortan a las anteriores en: T1 (circunferencia inferior) y T2 (circunferencia superior).

  

4. Uniendo, mediante dos rectas, estos puntos de tangencia T1 y T2 (situados en cada una de las circunferencias-esquinas), con el punto P, obtendremos las rectas que, pasando por el punto P, son tangentes a las circunferencias (esquinas de la pieza).

  

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5.Obtenemos las aristas superior e inferior de la pieza, con sus puntos de tangencia, realizados correctamente.

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6. Para hallar la tercera arista, la que une los dos esquinas redondeadas, tendremos que:

6.1. Unir los centros de ambas circunferencias mediante una línea…

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6.2. … trazar perpendiculares a esta línea y que pasen por cada uno de los centros, y …

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6.3. … donde las perpendiculares cortan a sus circunferencias, tendremos los nuevos puntos de tangencia:T3 y T4.

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7. Se traza la línea que pase por los puntos de tangencia T3 y T4.

NOTA:

Recordad que los puntos de tangencia son puntos de control para comprobar si el ejercicio están bien realizado, por lo habrá que ser minuciosos en el momento de hallar estos puntos.

8. Para finalizar la pieza, habrá que repasar todas las líneas teniendo en cunta los puntos de tangencia: Solución.

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Resumen en imágenes

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Igualdad por arcos

Como se comenta en el tema 9.1 Igualdad, se considera que dos figuras planas son IGUALES, cuando sus lados y ángulos están dispuestos de tal forma que, superponiendo una figura sobre la otra, ambas coinciden.

Son varios los procedimientos existentes para construir figuras planas iguales a otras. En este caso veremos el método de los Arcos.

Los datos con los que partimos son:

• Tenemos una figura plana (pentágono irregular – imagen adjunta) que tenemos que construir en otro lugar. Podemos suponer que la existente se ha estropeado y hay que reemplazarla por otra pieza igual.

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OPERACIONES

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1. Partimos de la figura original y establecemos el lugar donde vamos a construir la figura igual a la original. En este ejercicio la elección del espacio es nuestra, pero puede venir determinado. Segmento A’B’.

Se traslada uno de los arcos, por ejemplo el arco B al punto destinado para hacer la copia de la imagen: punto B’.

Para trasladar el arco, ver el punto: 2.1.1. Transladar o transportar un ángulo.

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2. Sobre el arco creado en el punto B’, llevamos la medida del segmento BC.

Obtenemos el punto C’.

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3. Para obtener el punto D’, habrá que hacer las mismas operaciones (traslado del arco y llevar la medida del segmento), pero en este caso desde el punto C’.

Se procede de la misma manera con todos los puntos.

Obtenemos los puntos A’, B’, C’, D’ y E’.

NOTA:

Lógicamente, no haría falta hallar el punto A’ ya que viene definido al situar el segmento A’B’.

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4. Se unen todos los vértices (A’, B’, C’, D’ y E’) y obtenemos una figura igual a la imagen orignial (pentágono irregular). Solución:.

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Resumen en imágenes

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Enlazar dos líneas paralelas

A menudo nos encontramos piezas como la de la figura. Si os fijáis, los extremos están «redondeados» mediante un arco semicircular.

Se trata de enlazar dos rectas paralelas.

Como se comenta en el tema 6. Enlaces, un «enlace» es la unión armónica de dos líneas ya sean rectas o curvas.

Para resolver los problemas de enlaces habrá que seguir siempre tres operaciones generales:

• Hallar el centro del enlace
• Hallar los puntos de tangencia
• Trazar el arco de enlace

Los datos con los que partimos son:

• Recta r y recta s, paralelas entre si.
• No se dispone del radio de enlace porque viene determinado por la separación de las rectas r y s.

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OPERACIONES

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1. Nos fijamos en uno de los extremos de la pieza (el otro se realizará de igual forma). Para hallar el centro de enlace:
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1.1. Se traza una perpendicular a la recta r y a la recta s.

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1.2. Sobre la perpendicular, se halla el punto medio, trazando la MEDIATRIZ.

Se obtiene el punto O_e, centro de enlace.

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2. Se hallan los puntos de tangencia:

2.1. Desde el centro del enlace O_e se traza una línea perpendicula a la recta r. Se obtiene el punto de tangencia T₁. Dado el tipo de problema, se puede utilizar la perpendicular trazada anteriormente.

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2.2. De la misma forma, desde el centro del enlace O_e, se traza una línea perpendicular a s y obtenemos el punto de tangencia T₂.

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3. Se traza el arco del enlace y se remarcan las líneas enlazadas.

3.1. En este caso no tenemos el dato del radio del enlace, así que el enlace se construirá pinchando con el compás en el centro del enlace O_e, y con un radio de O_e–T₁ ( o T₂, según se desee), se traza un arco desde T₁ hasta T₂.

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3.2. Se remarca (con línea gruesa) las líneas del problema y la solución del enlace.

NOTA: Los puntos de tangencia T₁ y T₂ son puntos de control para comprobar si el trabajo está bien realizado.

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Resumen en imágenes

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Enlazar dos líneas en ángulo recto mediante un arco

A menudo nos encontramos piezas como la de la figura. Si os fijáis, las esquinas están «redondeadas».

Para poder dibujar estas esquinas, necesitamos saber cómo enlazar, mediante un arco determinado, dos líneas perpendiculares entre si.

Como se comenta en el tema 6. Enlaces, un «enlace» es la unión armónica de dos líneas ya sean rectas o curvas.

Para resolver los problemas de enlaces habrá que seguir siempre tres operaciones generales:

• Hallar el centro del enlace
• Hallar los puntos de tangencia
• Trazar el arco de enlace

Los datos con los que partimos son:

• Recta r y recta s, perpendiculares entre si y formando un ángulo recto.
• Radio de enlace (radio Re) con el que se realizará el enlace.

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OPERACIONES

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1. Nos fijamos en una de las esquinas (las otras tres se realizarán de igual forma). Para hallar el centro de enlace:
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1.1. Se traza una perpendicular a la recta r y otra a la recta s.

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1.2. Sobre las perpendiculares se lleva la medida del radio AB.

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1.3. A partir de estos puntos, se trazan paralelas a r y s, se cortan en O_e, centro del arco de enlace.

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2. Se hallan los puntos de tangencia:

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2.1. Desde el centro del enlace O_e se traza una línea perpendicula a la recta s. Se obtiene el punto de tangencia T₁.

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2.2. De la misma forma, desde el centro del enlace O_e, se traza una línea perpendicular a r y obtenemos el punto de tangencia T₂.

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3. Se traza el arco del enlace y se remarcan las líneas enlazadas.

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3.1. Con el radio del enlace AB (que nos dan como dato) y pinchando con el compás en el centro del enlace O_e, se traza un arco desde T₁ hasta T₂.

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3.2. Se remarca (con línea gruesa) las líneas del problema y la solución del enlace.

NOTA: Los puntos de tangencia T₁ y T₂ son puntos de control para comprobar si el trabajo está bien realizado.

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Resumen en imágenes

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Igualdad por perpendiculares

Como se comenta en el tema 9.1 Igualdad, se considera que dos figuras planas son IGUALES, cuando sus lados y ángulos están dispuestos de tal forma que, superponiendo una figura sobre la otra, ambas coinciden.

Son varios los procedimientos existentes para construir figuras planas iguales a otras. En este caso veremos el método de las Perpendiculares.

Los datos con los que partimos son:

• Tenemos una figura plana (pentágono irregular – imagen adjunta) que tenemos que construir en otro lugar. Podemos suponer que la existente se ha estropeado y hay que reemplazarla por otra pieza igual.

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OPERACIONES

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1. Se trazan una recta r cualquiera donde se construirán las perpendiculares.

Sobre r, se traza la perpendicular de un vértice de la figura, por ejemplo el punto E y obtenemos un punto e situado en la recta r.

Se traza otra recta r’, donde se «copiará» la imagen que nos proponen. De la misma forma, se establece un punto e’. Si no nos piden que la nueva pieza esté situada en un lugar concreto, la recta r’ y el un punto e’, puede ser cualquiera.

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2. Repetimos la operación del punto E con todos los vértices de la figura, esto es, desde los vértices trazamos rectas perpendiculares a r, cortándola en los puntos e, a, d, b y c.

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3. Llevar los segmentos de separación (ea, ad, db y bc) a partir del punto e’, obteniendo las nuevas separaciones e’a’, a’d’, d’b’ y b’c’.

Para trasladar estos segmentos, habrá que tomar la distancia con el compás de los segmentos de la recta r y trasladarla a la recta r’. Obtenemos los puntos e’, a’, d’, b’ y c’.

NOTA:

Si utilizamos cada separación de forma individual, es posible que cometamos errores y estos se vayan incrementando según vamos añadiendo segmentos de separación. Sería más correcto referenciarlos todos a un único punto, es decir, trasladar el segmento ea, después el ed, siguiendo el eb y finalmente el ec. Todos referenciados con el punto e. Los posibles errores, serán menores.

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4. A partir de los los puntos e’, a’, d’, b’ y c’, trazamos perpendiculares a la recta r’.

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5. Se toma la altura del vértice E y se traslada a partir del punto e’.

Para ello, con una abertura del compás eE, (radio eE), y pinchando con el compás en punto e’, se traza un arco con el radio eE.

Obenetemos el punto E’.

Se repite la operación con todos los vértices, obteniendo todos los vértices «copiados».

6. Se unen todos los vértices (A’, B’, C’, D’ y E’) y obtenemos una figura igual a la imagen orignial (pentágono irregular). Solución:

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Resumen en imágenes

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Figura original

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Triángulo. Simetría axial

Como se comenta en el tema 9.5 Simetrías, se dice que dos figuras son simétricas respecto a un punto (simetría central o simetría radial) o respecto a una recta (simetría axial) cuando al girar una de las figuras sobre el punto o la recta (llamada eje de simetría) respectivamente, ambas figuras coinciden.

En este caso nos piden que construyamos un triángulo que sea simétrico axial respecto al eje de simetría X que nos dan como dato. Partiremos del siguiente conocimiento:

Simetría axial.

Dos puntos A-A’ (llamados puntos homólogos) son simétricos respecto un eje X (eje de simetría), cuando ambos puntos estan situados sobre una recta perpendicular al eje X y equidistan de él. De esta forma, el eje X se convierte en la mediatriz del segmento AA’.

Los datos con los que partimos son:

• Tenemos una figura plana, en este caso el triángulo ABC – (imagen adjunta)
• Eje de simetría (eje X).

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OPERACIONES

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1. Según lo comentado arriba, el punto A y su simétrico A’, respecto al eje de simetría X, deben estar sobre una línea que es perpendicular al eje X.

La primera operación, por tano, será trazar líneas desde los puntos A, B y C, y que sean perpendiculares al eje X.

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2. Siguiendo con lo comentado arriba, el punto A y su simétrico A’, deben equidistar con respecto al eje de simetría X, esto es, deben estar a la misma distancia.

Para ello, haciendo centro con el compás en el punto donde la línea perpendicular del punto A corta al eje X (punto M) y con una abertura de compás desde este punto M al punto A (es decir, radio MA), trazamos un arco hasta cortar a la línea perpendicular.

Obtenemos el punto A’ (punto simétrico de A).

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3. Se realiza la misma operación con los puntos B y C.

Obtenemos los puntos simétricos B’ y C’.

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4. Unimos los puntos simétricos A’, B’ y C’ y tenemos el triángulo simétrico que nos pedían.

Resumen en imágenes

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Triángulo. Simetría central

Como se comenta en el tema 9.5 Simetrías, se dice que dos figuras son simétricas respecto a un punto (simetría central o simetría radial) o respecto a una recta (simetría axial) cuando al girar una de las figuras sobre el punto o la recta (llamada eje de simetría) respectivamente, ambas figuras coinciden.

En este caso nos piden que construyamos un triángulo que sea simétrico central respecto a centro de simetría que nos dan como dato. Partiremos del siguiente conocimiento:

Simetría central.

Dos puntos A-A’ son simétricos respecto un punto O, cuando ambos puntos estan sobre una recta que pasa por el punto O (centro de simetría) y equidistan de él.

Los datos con los que partimos son:

• Tenemos una figura plana, en este caso el triángulo ABC – (imagen adjunta)
• Centro de simetría (punto O).

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OPERACIONES

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1. Según lo comentado arriba, el punto A y su simétrico A’, respecto al centro de simetría O, deben estar sobre la misma línea que pasa por O.

La primera operación, por tano, será trazar líneas desde los puntos A, B y C, y que pasen por el punto O.

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2. Siguiendo con lo comentado arriba, el punto A y su simétrico A’, deben equidistar con respecto al centro de simetría O, esto es, deben estar a la misma distancia.

Para ello, haciendo centro con el compás en el punto O y con una abertura de OA (radio OA), trazamos un arco hasta cortar a la línea que sale de A y pasa por el punto O.

Obtenemos el punto A’ (punto simétrico de A).

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3. Se realiza la misma operación con los puntos B y C.

Obtenemos los puntos simétricos B’ y C’.

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4. Unimos los puntos simétricos A’, B’ y C’ y tenemos el triángulo simétrico que nos pedían.

Resumen en imágenes

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Igualdad por triangulación

Como se comenta en el tema 9.1 Igualdad, se considera que dos figuras planas son IGUALES, cuando sus lados y ángulos están dispuestos de tal forma que, superponiendo una figura sobre la otra, ambas coinciden.

Son varios los procedimientos existentes para construir figuras planas iguales a otras. En este caso veremos el método de la Triangulación.

Los datos con los que partimos son:

• Tenemos una figura plana (pentágono irregular – imagen adjunta) que tenemos que construir en otro lugar. Podemos suponer que la existente se ha estropeado y hay que reemplazarla por otra pieza igual.

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OPERACIONES

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1. Se descompone la figura inicial en el número necesario de triángulos para disponer de todos los vértices de la figura.

Uno de los lados debe quedar siempre determinado, por ejemplo el lado AB. Con este dato, tenemos determinado la longitud del lado AB y dos de los vértices de la figura.

Por tanto tenemos que construir tres triángulos: ABE, ABD y ABC. Se trazan los tres triángulos sobre la figura original.

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2. Tenemos que definir el punto donde vamos a construir la nueva figura. En algunos ejercicios este punto puede venir dado o bien puede ser de libre elección.

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3. Con la abertura del compás de AE, es decir, con el radio a, de la imagen original, trazamos un arco desde el punto A’, lugar destinado a la nueva figura.

Con la abertura del compás de BE, es decir, con el radio b, de la imagen original, trazamos otro arco desde el punto B’.

Los dos arcos se cortan en el vértice E’.

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4. Se realiza la misma operación para los vértices D y C. Se obtienen los vértices D’ y C’.

5. Se unen todos los vértices (A’, B’, C’, D’ y E’) y obtenemos una figura igual a la imagen orignial (pentágono irregular). Solución:

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Resumen en imágenes

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Figura original

La figura original, se descompone en triángulos

Se determina un sitio (A’B’) para la nueva figura

Se traslada el triángulo ABE al sitio elegido anteriormente (A’B’E’)

Se realiza la operación con todos los triángulos

Se unen todos los vértices. SOLUCIÓN

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